Projet : ARENAIRE - arenaire

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h1><a name="SECTION00020000000000000000" id= "SECTION00020000000000000000"></a> <a name= "ARENAIRE_presentation_" id= "ARENAIRE_presentation_"></a><br /> Présentation et objectifs généraux</h1><a name= "ARENAIRE_presentation_module-presentation" id= "ARENAIRE_presentation_module-presentation"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>arithmétique des ordinateurs, virgule flottante, fiabilité numérique, fonctions élémentaires, opérateurs asynchrones, circuits intégrés numériques, FPGA, calcul formel .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>L'objectif du projet A<small>RÉNAIRE</small> est de contribuer à l'élaboration et à la consolidation des connaissances dans le domaine de l'arithmétique des ordinateurs. Nos travaux se situent sur deux axes privilégiés : d'une part l'utilisation avertie des normes existantes pour construire des algorithmes fiables et les prouver ; d'autre part la mise au point, plus en amont, des unités arithmétiques du futur. Fiabilité, précision, rapidité et (à plus long terme) faible consommation sont les principaux objectifs du projet.</i> </div> <p>Le but scientifique du projet est de participer à l'amélioration de l'arithmétique disponible sur les microprocesseurs et les calculateurs dédiés. Cette amélioration peut porter aussi bien sur la rapidité des calculs que sur leur fiabilité et leur précision, ainsi que sur des paramètres plus technologiques tels que la consommation d'énergie dans les circuits intégrés.</p> <p>L'arithmétique des ordinateurs a connu un changement majeur en 1985 avec l'apparition de la norme I<small>EEE</small>-754, qui spécifie les formats de représentation des nombres et les opérations arithmétiques en virgule flottante. Cette norme s'est rapidement imposée. Une des principales exigences de la norme est liée aux modes d'arrondi. La somme, le produit, le quotient de deux nombres qui s'écrivent exactement en virgule flottante (on dira des « nombres machine » pour simplifier) ne sont en général pas des nombres machine. Il faut donc les <em>arrondir</em>. La norme I<small>EEE</small>-754 demande que l'utilisateur puisse choisir entre 4 modes d'arrondi possibles : au plus près -- c'est le mode par défaut -- , vers le haut, vers le bas ou vers zéro. Si <span class= "MATH"><i>a</i></span> et <span class="MATH"><i>b</i></span> sont des nombres machine, le résultat d'une des quatre opérations arithmétiques <span class= "MATH"><i>a</i><img width="8" height="10" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \star$" /><i>b</i></span> doit être le nombre machine qui serait obtenu si on avait d'abord fait le calcul avec une <em>précision infinie</em> avant d'arrondir avec le mode d'arrondi demandé par l'utilisateur. Cette exigence est appelée « arrondi exact ».</p> <p>La plupart des micro-ordinateurs et des stations de travail actuels suivent la norme I<small>EEE</small> et les conséquences de cette adhésion sont importantes :</p> <ul> <li>on peut développer des <em>algorithmes</em> et des <em>preuves</em> de correction qui utilisent la spécification des unités de calcul comme cela a été fait par William Kahan et ses élèves à l' <em>University of California</em> de Berkeley [<a href= "bibliographie_Toc.html#Kah99" target= "contents">Kah99</a>] ;</li> <li>en jouant sur les différents modes d'arrondi, il est possible pour l'utilisateur d'obtenir un minorant ou un majorant certifié du résultat et de faire ainsi de l' <em>arithmétique d'intervalles</em>.</li> </ul> <p>L'exemple suivant illustre les avantages que l'on peut retirer de cette démarche. On prouve [<a href= "bibliographie_Toc.html#CGM99" target="contents">CHGM99</a>] que (sauf dépassements de capacité), si <span class= "MATH"><i>x</i></span> est exactement représentable en flottant et si <span class="MATH"><i>z</i></span> est une approximation au poids du dernier bit près de <span class= "MATH">1/<i>x</i></span>, alors la suite d'opérations </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$\displaystyle \epsilon$" /></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> =</td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>o</tt><sub>n</sub>(1 - <i>xz</i>)</td> </tr> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <i>z'</i></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> =</td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>o</tt><sub>n</sub>(<i>z</i> + <img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$\displaystyle \epsilon$" /><i>z</i>)</td> </tr> </table> </div>où  <span class="MATH"><tt>o</tt><sub>n</sub>(<i>a</i> + <i>bc</i>)</span> signifie que le calcul <span class= "MATH"><i>a</i> + <i>bc</i></span> est fait en arrondi au plus près, donne une valeur <span class= "MATH"><i>z'</i></span> égale à l'arrondi au plus près de <span class="MATH">1/<i>x</i></span>. Ainsi, en utilisant l'arrondi correct de la multiplication-accumulation, on peut fournir des algorithmes de division fournissant un arrondi correct sans utiliser d'arithmétique à plus grande précision pour les calculs intermédiaires. C'est cette méthode qui sera utilisée pour effectuer des divisions sur l'architecture IA64, développée conjointement par Intel et HP. <p>La plupart des travaux actuels en arithmétique des ordinateurs se situent autour des deux thèmes suivants :</p> <ul> <li><b>Thème 1</b> : Les opérateurs arithmétiques étant donnés, les utiliser « au mieux ». Par exemple, les « axiomes » qui constituent les spécifications de la norme I<small>EEE</small> (ou d'autres spécifications) étant donnés, il faut construire des algorithmes et les preuves de correction de ces algorithmes qui utilisent au mieux chaque opportunité de performance. Nous mettons au point une arithmétique en précision multiple qui utilise, au lieu d'entiers, des flottants I<small>EEE</small> comme « briques de base ». Nous démarrons une activité d'arithmétique en calcul formel. Dans le cadre de l'ARC INRIA « AOC » (Arithmétique des Ordinateurs Certifiée), nous travaillons avec des membres des projets LEMME (Sophia) et POLKA (Lorraine) à la preuve de propriétés et d'algorithmes en virgule flottante. Dans le cadre d'un contrat entre l'INRIA et ST Microelectronics, nous avons proposé des algorithmes de division par une constante utilisant les opérateurs disponibles sur un circuit DSP construit par ST.</li> <li><b>Thème 2</b> : Concevoir et/ou valider des opérateurs, ou de manière peut-être plus générale, concevoir d'autres « briques de base » que celles de l'arithmétique I<small>EEE</small>. La norme I<small>EEE</small> ne spécifie que les quatre opérations arithmétiques et la racine carrée, et nous travaillons à une implantation rigoureuse et intelligente d'autres fonctions en virgule flottante. Nous travaillons également sur d'autres systèmes de numération. Il n'est pas utopique d'étudier ces systèmes : si pour des besoins « généralistes » comme pour un microprocesseur, l'arithmétique virgule flottante semble incontournable (même si on peut certainement en améliorer les implantations existantes), sur des systèmes dédiés à des applications particulières, d'autres modes de représentation des nombres peuvent s'avérer mieux adaptés. Un exemple classique est celui des systèmes de numération <em>redondants</em> (carry-save, borrow-save, etc.) qui sont utilisés à l'intérieur de nombreux multiplieurs et diviseurs. Cette utilisation est transparente : en entrée comme en sortie de ces opérateurs, les nombres sont représentés dans un système usuel.</li> </ul> <p>La recherche sur les algorithmes et les architectures pour la multiplication, pour la division, et pour le calcul des fonctions élémentaires est toujours très active<a name= "tex2html6" href="footnode_mn.html#foot150" target="footer" id="tex2html6"><sup><img align="bottom" border="1" alt="[*]" src="../icons/foot_motif.png" /></sup></a>. Les membres du projet ont acquis une solide réputation dans ce domaine et ont l'intention de poursuivre leurs travaux dans cette voie.</p> <p>La maîtrise des erreurs d'arrondi dans les calculs (et de manière plus générale, la fiabilité numérique des systèmes) est un sujet de plus en plus important. On effectue des calculs considérablement plus volumineux que dans les années 70, alors que les formats de représentation des nombres (et par conséquent la précision de chaque opération prise individuellement) n'ont presque pas changé. Une conséquence est que les problèmes de précision se posent de plus en plus. Dans de nombreux domaines d'application, l'imprécision de l'arithmétique flottante peut avoir des conséquences tragiques. La maîtrise de la précision est un thème important. Notre équipe travaille déjà activement sur ce thème : nous avons participé jusqu'en 1999 à l'ARC INRIA F<small>IABLE</small>. Nous avons également collaboré en 1998-99 avec la société Aérospatiale dans ce domaine. Nous nous intéressons tout particulièrement à la précision du calcul des fonctions élémentaires. Notre avancée récente sur le problème du « Dilemme du Fabricant de Tables » se situe dans ce domaine.</p> <p>L'amélioration automatique de la précision des résultats complète la maîtrise de la fiabilité numérique. Les utilisateurs qui rencontrent des problèmes de précision numérique n'ont souvent ni le temps ni le métier pour répondre à ces problèmes difficiles. Ce constat incite à proposer des approches automatiques qui permettent de contrÔler et d'améliorer la qualité numérique d'un programme vu comme une « boîte noire ».</p> </body>