Projet : ARENAIRE - arenaire

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00042000000000000000" id= "SECTION00042000000000000000">Calcul des fonctions élémentaires</a></h2>  <a name="ARENAIRE_resultats_module-documentation" id= "ARENAIRE_resultats_module-documentation"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Marc Daumas, Claire Finot-Moreau, Vincent Lefèvre, Jean-Michel Muller.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>virgule flottante, erreurs d'arrondi, dilemme du fabricant de tables, fonctions élémentaires .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les algorithmes et des programmes permettant de construire les pires cas pour le dilemme du fabricant de tables que nous avions conÇus nous ont permis d'obtenir ces pires cas pour la « double précision ». Ces pires cas vont nous permettre de construire une bibliothèque calculant les fonctions élémentaires avec « arrondi exact ». Nous avons proposé de nouveaux programmes pour le calcul de certaines fonctions élémentaires avec une précision de l'ordre de la centaine de bits.</i> </div> <p>Vincent Lefèvre avait mis au point un algorithme et une « batterie » de programmes permettant de construire les pires cas, pour le format virgule flottante « double précision » du dilemme du fabricant de tables. Cet algorithme a été présenté dans sa thèse soutenue cette année [<a href="bibliographie_Toc.html#Lef2000a" target= "contents">5</a>,<a href="bibliographie_ct.html#LefMul2000d" target="contents">12</a>], et nous avons travaillé à son amélioration dans plusieurs cas particuliers. Nous avons publié les résultats obtenus dans un rapport de recherches [<a href="bibliographie_Toc.html#LefMul2000a" target="contents">35</a>], soumis à la conférence IEEE Arith-15. Nous avons présenté les conséquences de notre étude à l'occasion d'une communication à la <span class= "textit">34th Asilomar Conference on Circuits and Systems</span> [<a href= "bibliographie_Toc.html#LefMul2000b" target= "contents">29</a>] (où J.M. Muller était conférencier invité).</p> <p>Nous rendons publique une liste restreinte de pire cas à l'URL</p> <div align="center"> <a name="tex2html7" href= "http://www.ens-lyon.fr/~jmmuller/TMD.html" target="_top" id= "tex2html7">http://www.ens-lyon.fr/~jmmuller/TMD.html</a> </div> <p>Cette liste ne contient pas tous les pires cas trouvés, car nous désirons d'une part prendre un peu d'avance dans l'utilisation de nos pires cas pour la conception de fonctions, et d'autre part valoriser les résultats trouvés en ne les diffusant qu'à un « club de partenaires » de notre projet.</p> <p>Par exemple, la table suivante donne les pires cas trouvés pour le logarithme népérien. </p> <p align="center" class="mathdisplay"><img width="603" height="268" border="0" src="img5.png" alt= "\begin{displaymath} \begin{table}%MPD\hss \begin{tabular}{\vert l\vert l\vert}... ...10... \end{array}\\ %MPD\hline \end{tabular}\end{table}%MPD\end{displaymath}" /></p>Tomas Lang (University of California at Irvine) et Jean-Michel Muller ont regardé s'il était possible d'obtenir directement des pires cas pour le dilemme du fabricant de tables lorsque la fonction calculée est algébrique. Ils ont obtenu une borne permettant de savoir avec quelle précision une approximation de la fonction doit être évaluée pour que l'on soit certain qu'arrondir l'approximation est équivalent à arrondir la fonction. Ils ont montré que pour certaines fonctions courantes, la borne était atteinte (ce qui n'est en général pas le cas). Les résultats sont en cours de publication [<a href="bibliographie_Toc.html#LanMul2000" target="contents">32</a>]. <p>Pour certains problèmes de calcul, la « double précision » de la norme IEEE-754 est insuffisante même si une précision multiple (i.e., plusieurs centaines de bits) n'est pas nécessaire et serait souvent trop lente. Les codes correspondants ne sont pas instables, mais les puissances de calcul disponibles permettent d'envisager de travailler avec des échelles très différentes et dans ce cas, une précision quadruple s'avère nécessaire.</p> <p>Une bibliothèque de calcul est actuellement disponible et distribuée sur le réseau par des laboratoires américains dépendant du <span class="textit">Department of Energy</span>. Cette bibliothèque utilise le format double précision comme « brique de base » pour atteindre une précision proche de la quadruple précision. Ces développements permettent ainsi de fournir aujourd'hui la quadruple précision, et quand cette dernière sera disponible au niveau matériel, ils se transposeront pour atteindre sans travail supplémentaire l'octuple précision. Nous travaillons avec David Bailey le responsable du développement de cette bibliothèque dans le cadre d'un financement France-Berkeley que nous avons obtenu l'an dernier. Suite à une étude systématique des choix possibles, nous avons proposé de nouvelles routines pour certaines fonctions élémentaires (sinus, cosinus, exponentielle) [<a href= "bibliographie_Toc.html#DauFin2K" target= "contents">18</a>,<a href="bibliographie_ct.html#DauMorMul2K" target="contents">17</a>].</p> <p>L'étude systématique a été menée à l'aide du logiciel Maple et les fichiers sources seront bientÔt disponibles sur Internet pour permettre à d'autres équipes d'explorer de nouvelles possibilités. Dans cette optique nous avons mené des travaux avec le LIRMM et le LIM pour étudier la possibilité d'utiliser l'algorithme CORDIC ou une de ses variantes [<a href="bibliographie_Toc.html#ImbMorRic2K" target="contents">23</a>].</p> <p>Ces travaux pourront être utilisés dans le cadre de l'implantation de fonctions élémentaires avec arrondi correct. Les développements sous Maple pourront éventuellement être transcrits sous un environnement de preuve tel COQ.</p> <p>Une phase critique (du point de vue de la précision) du calcul des fonctions élémentaires est la <span class= "textit">réduction d'argument</span>, qui consiste à se ramener à l'intervalle dans lequel l'approximation choisie converge. Vincent Lefèvre et Jean-Michel Muller ont proposé un algorithme effectuant cette réduction d'argument « au vol » [<a href="bibliographie_Toc.html#LefMul2000c" target="contents">34</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#LefMul2000" target= "contents">28</a>].</p> </body>