Projet : ARENAIRE - arenaire

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00043000000000000000" id= "SECTION00043000000000000000">Arithmétique virgule flottante : spécification et algorithmes de manipulation d'expansions</a></h2> <a name="ARENAIRE_resultats_module-flottants" id= "ARENAIRE_resultats_module-flottants"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Marc Daumas, Claire Finot-Moreau.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>virgule flottante, preuve d'algorithmes, erreurs d'arrondi, arithmétique exacte, précision multiple, expansion, division, géométrie algorithmique .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Nous travaillons à la preuve formelle de propriétés et d'algorithmes en arithmétique virgule flottante. Ceci est rendu possible grâce aux spécifications fournies par la norme I<small>EEE</small> 754. Une expansion de nombres flottants est un nombre en précision multiple représenté par la somme d'un petit nombre de flottants. Manipuler des expansions permet parfois de rendre plus précise une portion critique d'un programme.</i> </div> <p>Grâce à notre collaboration dans le cadre de l'action de recherches coopératives INRIA AOC, et en particulier au travail de Laurent Thery (INRIA Sophia), nous avons commencé à transférer certaines de nos preuves et spécifications sous l'outil Coq. Cette approche est particulièrement utile de plusieurs points de vue :</p> <ul> <li>Coq est un formalisme moins permissif que les formalismes utilisés par le passé pour des preuves de ce type.</li> <li>Cette preuve part d'une spécification naturelle et suit un chemin de preuve passant par des résultats intermédiaires connus et documentés dans la littérature. Cette approche nous garantit qu'un lecteur extérieur à notre développement pourra en extraire du savoir sans devoir d'abord ingurgiter tout notre formalisme.</li> <li>Notre travail sur les expansions nous a permis d'isoler des résultats intéressants et de difficulté « raisonnable ». Nous avons déjà un ensemble significatif de résultats. Un exemple simple est le suivant: soient deux nombres flottants <span class="MATH"> <i>x</i></span> et <span class="MATH"><i>y</i></span> tels que  <span class="MATH"><img width="10" height="25" align= "middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ {y \over 2}$" /><img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img7.png" alt= "$ \le$" /><i>x</i><img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img7.png" alt= "$ \le$" />2<i>y</i></span>, le rationnel <span class= "MATH"><i>x</i> - <i>y</i></span> est exactement représentable (il est donc calculé exactement sur toute arithmétique avec arrondi correct). Ce fait est vrai indépendamment de la base. Par contraposée, si  <span class="MATH"><i>x</i> + <i>y</i> <img width="12" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \neq$" /><tt>o</tt>(<i>x</i> + <i>y</i>)</span>, alors  <span class="MATH">|<tt>o</tt>(<i>x</i> + <i>y</i>)|<img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img9.png" alt="$ \ge$" />max(| <i>x</i>|,| <i>y</i>|)/2</span>. La fonction <span class= "MATH"><tt>o</tt></span> est l'arrondi au plus près. <p>L'état actuel de nos preuves peut être consulté à l'adresse</p> <div align="center"> <a name="tex2html8" href= "http://www-sop.inria.fr/lemme/AOC/coq/" target="_top" id= "tex2html8">http://www-sop.inria.fr/lemme/AOC/coq/</a> </div> <p>Une prochaine extension de ces travaux est l'écriture d'une preuve validée des limites de la correction flottante pour la méthode CENA [<a href= "bibliographie_Toc.html#Lang:00c" target= "contents">25</a>].</p> <p>Parallèlement à ce travail sur les preuves formelles, nous continuons à améliorer les algorithmes sur les « expansions » de nombres flottants. Une expansion de nombres flottants est un nombre en précision multiple représenté par la somme d'un petit nombre de flottants. Pour manipuler ces expansions, on utilise l'unité de calcul en virgule flottante du processeur pour les calculs internes à la place de l'unité de calcul entier.</p> <p>Nos résultats algorithmiques ne sont pas encore publiés, mais certains programmes commencent à être diffusés. La bibliothèque actuelle a été modifiée pour qu'elle ne travaille plus en précision arbitraire (calculs exacts aussi longs que nécessaires) mais en précision fixée (l'utilisateur indique <em>a priori</em> la précision de chaque opération). Sylvie Boldo, élève de l'ENS Lyon, a effectué un stage à Berkeley dans l'équipe de Schewchuck, dans le cadre du fonds France-Berkeley. Elle a développé des algorithmes d'addition en octuple précision. Ces algorithmes ont été intégrés dans la bibliothèque octuple précision développée et distribuée sous la direction de David Bailey.</p> </li> </ul> </body>