Projet : CAFE - cafe

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00061000000000000000" id= "SECTION00061000000000000000">Algorithmes pour équations linéaires</a></h2> <a name="CAFE_resultats_equadiffs" id= "CAFE_resultats_equadiffs"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Raphaël Bomboy, Manuel Bronstein, Hélène Prieto.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>équations différentielles, équations aux différences, coefficients liouvilliens, déterminants, solutions liouvilliennes, solutions analytiques, quadratures, invariants, groupes de Galois, réductibilité .</i></p> <p><b>Équations différentielles</b></p> <p>Pour les équations différentielles, notre activité principale cette année a été d'améliorer le calcul des invariants du groupe de Galois, point de passage coûteux des algorithmes de résolution. Dans l'axe de nos recherches sur la généralisation des algorithmes aux équations dont les coefficients contiennent des fonctions plus générales que les polynômes, nous avons réduit le calcul d'invariants d'équations à coefficients dans un corps différentiel <span class="MATH"><i>k</i></span> <em>quelconque</em> à la détermination des solutions dans <span class= "MATH"><i>k</i></span> d'équations (ou de systèmes) linéaires associés. Ces travaux ont été présentés à la conférence MEGA'2000, ainsi qu'au ``AMS Eastern Sectional Meeting'' et apparaitront dans les actes de 3ecm courant 2001.</p> <p><b>Algèbre linéaire</b></p> <p>Notre collaboration avec Thom Mulders (ETH Zurich) a continué cette année avec l'implantation dans la bibliothèque  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \Sigma$" /><sup>it</sup></span> (cf. <a href= "logic_Sumit_Toc.html#CAFE_logiciels_Sumit">5.3</a>), par Hélène Prieto, d'algorithmes basés sur les images modulaires et le relèvement de Hensel[<a href= "bibliographie_Toc.html#AbbottBronsteinMulders99" target= "contents">ABM99</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#MuldersStor00" target= "contents">MS00</a>] pour le calcul du déterminant et du noyau de grandes matrices. Une nouvelle méthode prometteuse basée sur la forme de Popov a été découverte à l'ETH par Mulders et Storjohann et a été implantée par Mulders dans  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \Sigma$" /><sup>it</sup></span>. Nous cherchons à adapter cette méthode à d'autres calculs en algèbre linéaire ainsi qu'à déterminer une stratégie de sélection de l'algorithme optimal pour une matrice donnée.</p> <p><br /></p> <p><b>Équations aux différences finies</b></p> <p>L'essentiel de nos efforts dans ce domaine cette année a été centré sur l'utilisation de la théorie de Galois pour la factorisation et la résolution en forme close de ces équations, ainsi que sur le développement d'algorithmes pour résoudre les équations à coefficients fonctionnels.</p> <p><em>Réductibilité et solutions liouvilliennes :</em> nous nous somme attachés à terminer le travail entrepris visant à utiliser les propriétés de <span class= "textit">réductibilité</span> d'un système d'équations aux différences finies linéaire pour rechercher ses solutions liouvilliennes. L'algorithme de Hendriks et Singer[<a href= "bibliographie_Toc.html#HendSing99" target= "contents">HS99</a>] se ramène à la recherche de solutions <span class="textit">hypergéométriques</span> d'une famille d'équations du même type. Ce problème a été résolu par M. Petko<img width="4" height="10" align="bottom" border="0" src="img15.png" alt= "\normalsize{\v{s\/}}" />ek[<a href= "bibliographie_Toc.html#Petk92" target="contents">Pet92</a>]. Notre travail a consisté essentiellement à rechercher des algorithmes se ramenant le plus possible à des calculs d'Eigenring d'équations aux différences finies. Le calcul d'un Eigenring se ramène en effet à la recherche des solutions <span class="textit">rationnelles</span> d'un système auxiliaire linéaire d'équations aux différences finies, problème plus simple que la recherche de ses solutions hypergéométriques. Nous avons ainsi établi un algorithme de réductibilité des opérateurs aux différences finies linéaires, utilisant le travail théorique effectué précédemment[<a href="bibliographie_Toc.html#Bomboy99" target="contents">Bom99</a>], qui se ramène uniquement à des calculs d'Eigenring pour une large famille d'opérateurs (les opérateurs <span class="textit">complètement réductibles</span>). Nous avons également établi un algorithme de recherche des solutions liouvilliennes d'une équation aux différences finis d'ordre deux qui se ramène uniquement à des calculs d'Eigenring pour toutes les classes d'opérateurs sauf une, et améliore les algorithmes connus dans tout les cas. Ce travail devrait être rédigé dans la thèse de Raphaël Bomboy, dont la soutenance est prévue avant la fin de l'année universitaire. Des implantations expérimentales en langage Maple, utilisant le logiciel <tt>Shasta</tt> (cf. <a href= "logic_Sumit_Toc.html#CAFE_logiciels_Sumit">5.3</a>), sont en cours et ont déjà permis de traiter plusieurs exemples complexes. Nous espérons prochainement généraliser ce travail à des opérateurs d'ordre quelconque.</p> <p><em>Équations à coefficients fonctionnels :</em> Nous avons continué cette année le développement de notre théorie algébrique des tours d'extensions de corps aux différences [<a href= "bibliographie_Toc.html#Bronstein2000" target= "contents">6</a>] afin de pouvoir traiter les équations aux différences dont les coefficients contiennent des fonctions plus générales que les polynômes. Dans le cadre de notre collaboration avec S.A. Abramov (Moscou), nous avons résolu le problème du calcul de la <em>dispersion</em> de deux éléments d'une telle tour, qui se réduit au problème suivant de la théorie des nombres : étant donné deux nombres algébriques <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img16.png" alt= "$ \alpha$" /></span> et <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img14.png" alt= "$ \beta$" /></span>, existe-t-il un entier positif <span class="MATH"><i>n</i></span> tel que  <span class="MATH"><img width="17" height="23" align="middle" border="0" src="img17.png" alt="$ \alpha^{n}_{}$" /> = <img width="11" height="24" align="middle" border="0" src= "img14.png" alt="$ \beta$" /></span> ? Nous avons corrigé une erreur dans une solution proposée par Kannan et Lipton[<a href="bibliographie_Toc.html#KannanLipton86" target="contents">KL86</a>] et présenté une solution complète à la conférence ISSAC'2000 [<a href= "bibliographie_Toc.html#AbraBron2000" target= "contents">9</a>]. Nous nous intéressons maintenant au calcul des solutions rationnelles et hypergéométriques de ce type d'équations.</p> </body>