Projet : CAFE - cafe

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00062000000000000000" id= "SECTION00062000000000000000">Algorithmes pour équations non linéaires</a></h2> <a name="CAFE_resultats_equadiffsnl" id= "CAFE_resultats_equadiffsnl"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Thomas Cluzeau, Evelyne Hubert.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>équations différentielles, équations aux différences, élimination, ensemble triangulaire, élément primitif différentiel .</i></p> <p>Les algorithmes de décomposition caractéristique pour les systèmes différentiels peuvent être perçus comme une généralisation des algorithmes de décomposition caractéristique pour les systèmes polynomiaux. Ce thème a récemment bénéficié de nouveaux algorithmes et d'implantations efficaces[<a href= "bibliographie_Toc.html#kalkbrener98" target= "contents">Kal98</a>,<a href="bibliographie_ct.html#lazard99" target="contents">ALMM99</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#wang99" target= "contents">Wan99</a>,<a href="bibliographie_ct.html#moreno99" target="contents">AMM99</a>]. Nous nous sommes attachés à étudier ces nouveaux algorithmes et les objets de base qu'ils manipulent : les ensembles triangulaires. Nous avons produit des notes sur le sujet qui présentent des théorèmes plus fins et des améliorations algorithmiques. Ces notes seront publiées prochainement comme rapport de recherche.</p> <p>Ce travail sur les ensembles triangulaires a permis de généraliser la construction du résolvant d'un système différentiel[<a href="bibliographie_Toc.html#ritt" target= "contents">Rit50</a>]. La construction de Ritt permet de trouver une équation différentielle rationnellement équivalente au système différentiel donné par l'ensemble caractéristique d'un idéal différentiel premier. Nous avons généralisé ce procédé aux ensembles caractéristiques des idéaux différentiels caractérisables produits par les algorithmes de décomposition sans factorisation. Nous avons de surcroît mis à jour les relations entre ce résolvent, l'élément primitif de l'algèbre commutative et le vecteur cyclique des systèmes différentiels linéaires. Le rapport de projet de DEA de T. Cluzeau est disponible sur demande et devrait être prochainement complété pour aboutir à un rapport de recherche.</p> <p>Notre principale motivation pour l'étude des nouveaux algorithmes de décomposition caractéristiques pour les systèmes polynomiaux est qu'ils semblent incontournables pour l'établissement d'une théorie, sans factorisation, de l'élimination pour les systèmes d'équations aux différences. En effet, contrairement aux équations différentielles sous l'action de la dérivation, les équations aux différences ne deviennent pas linéaires en leur terme de tête sous l'action du morphisme de décalage. Les premières idées dans cette direction, discutées avec R. Cohn (Rutgers University, NJ), ont été présentées à la séance spéciale <span class= "textit">algèbre différentielle</span> de la conférence de l'AMS en novembre 2000.</p> <p>Un autre grand chantier a été mis en oeuvre. Le but est de pouvoir calculer une décomposition caractéristique de systèmes différentiels présentant une symétrie de Lie. Expérimentalement, les problèmes symétriques sont intractables en raison de l'inexistence d'un ordre naturel avec lequel mener les calculs. L'idée est de factoriser le système par son groupe de symétrie. Ce projet est commun avec E. Mansfield (University of Kent at Canterbury, UK) et est le sujet d'une proposition de PAI. L'approche prise est celle de l'extension de la méthode du repère mobile revue par M. Fels et P. Olver[<a href= "bibliographie_Toc.html#olver98" target= "contents">FO98</a>,<a href="bibliographie_ct.html#olver99" target="contents">FO99</a>].</p> <p>Nous avons également entamé une collaboration avec M. Singer (North Carolina State University) sur les questions relatives aux solutions singulières. Comme première étape, nous avons établi des preuves modernes pour les résultats concernant les équations différentielles ordinaires du premier ordre.</p> </body>