Projet : COMORE - comore

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h1><a name="SECTION00030000000000000000" id= "SECTION00030000000000000000"></a> <a name= "COMORE_fondements_" id="COMORE_fondements_"></a><br /> Fondements scientifiques</h1><a name= "COMORE_fondements_modlisation-en-biologie" id= "COMORE_fondements_modlisation-en-biologie"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>système dynamique, modélisation en biologie, ressources renouvelables, environnement, biologie, écosystèmes, optimisation, théorie des jeux, automatique non linéaire, bioréacteur, traitement de l'eau, épuration biologique, dynamique des populations, croissance de micro-organismes .</i></p> <p>Le projet s'intéresse à la modélisation mathématique de systèmes biologiques, et plus particulièrement aux écosystèmes soumis à une action humaine (le cadre est donc celui des ressources vivantes renouvelables). Il est maintenant clair qu'il est important de savoir modéliser et contrÔler l'exploitation de ces ressources par l'homme. Notre cadre de pensée est celui de l'Automatique [<a href= "bibliographie_Toc.html#dancoh94" target= "contents">dNC94</a>] : un système, décrit par des variables d'état, est soumis à des entrées (des actions sur ce système, que l'on maîtrise ou non), et est décrit par des sorties (les mesures possibles sur le système). Dans notre cas, le système sera l'écosystème, modélisé par un modèle mathématique (une équation différentielle le plus souvent, cf. [<a href= "bibliographie_Toc.html#Mur90" target="contents">Mur90</a>]). Ses variables d'état seront par exemple le nombre ou la densité de telle population. Les entrées pourront être les actions que l'on exerce sur l'écosystème : action de l'homme (effort de pêche, introduction de nourriture...) ou action d'un facteur extérieur (pollution, lumière, ...). Les sorties seront soit des produits que l'on peut récolter de cet écosystème (récolte, captures, production d'un produit...), soit des mesures que l'on utilise pour mieux savoir ce qui se passe dans l'écosystème (par exemple, la mesure d'une population).</p> <p>Cette approche passe donc d'abord par la modélisation mathématique du système [<a href= "bibliographie_Toc.html#Pav94" target="contents">Pav94</a>]. Cette étape est fondamentale et difficile, car on ne dispose pas de lois rigoureuses comme en physique. Il faut ensuite étudier les propriétés de ce système mathématique, et voir si, par sa structure, il a des propriétés particulières. Prenons un exemple simple mais fondamental : dans la réalité, les variables sont positives parce que ce sont des populations ; en est-il de même dans le système mathématique ?</p> <p>On cherche donc à étudier le comportement qualitatif du système, l'existence de points d'équilibre, leur stabilité, l'existence de solutions périodiques... On souhaite montrer par exemple que pour toute condition initiale on ira vers un équilibre. Ces questions qualitatives sont fondamentales, car elles disent si le modèle est viable (le modèle ne prédit l'extinction d'aucune espèce, tout reste borné...) ou pas. Souvent, des problèmes spécifiques sont posés par l'origine biologique des modèles : des fonctions ou des paramètres sont mal connus, ou variables ; que peut-on dire sur le comportement du modèle ? Il est nécessaire de développer des techniques nouvelles pour étudier ces problèmes. De même, la structure forte des modèles permet de définir des grandes classes de systèmes, pour lesquelles on développe des techniques fines et adaptées : prenons pour exemple les modèles de type Lotka-Volterra en dimension <span class= "MATH"><i>n</i></span>, qui décrivent les interactions deux à deux entre <span class="MATH"><i>n</i></span> espèces (proie-prédateur,...) [<a href= "bibliographie_Toc.html#HofSig88" target= "contents">HS88</a>].</p> <p>Un problème fondamental est ensuite celui de la validation, ou de l'invalidation, des modèles : comment accepter, avec une certaine précision, un modèle en le comparant à des données expérimentales, parfois assez bruitées ? L'approche classique, qui consiste à identifier les paramètres du modèle en minimisant un critère d'écart entre la sortie mesurée et la sortie théorique, est souvent prise en défaut, car les mesures sont trop imprécises ; les fonctions intervenant dans la définition du modèle sont aussi parfois mal connues ; enfin, il est parfois difficile de décider, au vu de la sortie du modèle correspondant aux paramètres optimaux, s'il faut rejeter le modèle ou pas ; un critère numérique est porteur de peu d'information dans l'absolu. Nous avons donc développé des méthodes pour tenir compte de ces contraintes ; en particulier, nous cherchons des critères plus qualitatifs, permettant de conserver l'information qualitative initiale sur les modèles, et aussi de rejeter le modèle de faÇon certaine s'il ne peut rendre compte de certaines caractéristiques qualitatives visibles sur les données expérimentales.</p> <p>Enfin, on se posera des problèmes de régulation (comment garder une variable à un niveau constant) et d'observation (comment reconstituer les variables d'état à partir des mesures) sur ces systèmes, en insistant surtout sur l'aspect observation («capteur logiciel»), difficile pour les mêmes raisons que ci-dessus. Ces problèmes sont rarement classiques, parce que, encore une fois, l'origine «biologique» des systèmes apporte des contraintes. Un exemple simple est celui de l'effort de pêche, qui est une entrée (action de l'homme) sur un système (l'écosystème marin) : il est clair que l'effort sera toujours positif, et borné ; ces contraintes posent des problèmes mathématiques nouveaux.</p> <p>Les domaines plus spécifiques où nous intervenons sont variés, mais unis par cette méthodologie de l'automatique. Nous allons du système en laboratoire très contrÔlé (le chémostat) au système, très ouvert, de la pêche. Nous nous concentrons prioritairement sur les petits écosystèmes en environnement contrÔlé.</p> <ul> <li> <b>Modélisation de la croissance du plancton marin en chémostat.</b> <p>Nous travaillons en collaboration avec la station zoologique de Villefranche-sur-mer, qui a mis au point un chémostat (petit bioréacteur où des cellules se développent à partir d'un substrat) automatisé et géré par ordinateur ; ce système se prête donc particulièrement bien à l'application des méthodes issues de la théorie du contrÔle. Le travail consiste à étudier et valider des modèles de croissance en continu pour le plancton soumis à un environnement variable (lumière, nourriture). La croissance du plancton est à la base de toute la production de la matière organique des océans ; cependant, les modèles classiques existants (Monod, Droop) révèlent leur insuffisance en environnement « trop » variable, c'est-à-dire qu'ils ont été validés expérimentalement seulement à l'équilibre [<a href="bibliographie_Toc.html#BaiOll86" target= "contents">BO86</a>]. Nous cherchons à obtenir des modèles valables pendant les phases transitoires, donc en dehors de l'équilibre ; ces modèles représenteront donc mieux le phénomène réel. Nous disposons à Villefranche de l'outillage expérimental et de l'expertise nécessaire pour entreprendre de nouvelles expériences suggérées par la théorie.</p> </li> <li> <b>Modélisation du fonctionnement d'un bioréacteur. Observation et contrÔle.</b> <p>Très naturellement, le thème ci-dessus débouche sur une problématique plus générale de modélisation de bioréacteurs de différents types (épuration d'eau par exemple) et des problèmes d'observation et de contrÔle de modèles incertains [<a href= "bibliographie_Toc.html#BasDoc90" target= "contents">BD90</a>]. Un capteur logiciel, ou observateur, est un système dynamique dont l'objectif est de reconstruire asymptotiquement les variables d'état du système. Il se fonde pour cela à la fois sur un modèle et sur des mesures partielles (sorties) du processus. Plusieurs types de capteurs logiciels non-linéaires sont développés (observateurs « grand gain », asymptotiques, ...).</p> <p>Cependant, les modèles utilisées sont souvent mal connus, en partie au moins. Nous développons aussi des observateurs qui tiennent compte de ces incertitudes, en fournissant des intervalles d'estimation.</p> </li> <li> <b>Modélisation de systèmes exploités (pêche, écosystèmes).</b> <p>L'échelle des problèmes change ici ; beaucoup de données sont peu ou mal connues. Nous nous posons surtout pour l'instant des problèmes méthodologiques : comment modéliser, chez les poissons, la relation stock-recrutement (la relation qui lie, en gros, les adultes au nombre de juvéniles qu'ils peuvent engendrer)[<a href="bibliographie_Toc.html#lauleg81" target="contents">LL81</a>]? Comment optimiser le comportement d'une pêcherie vers un équilibre ? On pourra consulter [<a href="bibliographie_Toc.html#Tou97" target= "contents">Tou97</a>] pour un exposé de ces problèmes. De même, nous nous intéressons à la modélisation d'écosystèmes exploités par l'homme, tel que les serres dans le cadre de la lutte biologique.</p> </li> <li> <b>Théorie des jeux, économie...</b> <p>Les problématiques d'exploitation des ressources débouchent naturellement sur des problèmes de théorie des jeux (plusieurs pêcheurs sur une même ressource...). En général, dans les problèmes issus de l'exploitation des ressources, les agents économiques ont des intérêts conflictuels, mais non opposés. On utilisera des modèles de jeux à somme non nulle, et le but principal est de calculer des équilibres non coopératifs [<a href= "bibliographie_Toc.html#BasarOlsder95" target= "contents">BO95</a>].</p> </li> </ul> </body>