Projet : COMORE - comore

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00061000000000000000" id= "SECTION00061000000000000000">Mathématiques de la modélisation</a></h2> <a name="COMORE_resultats_modelisation-mathematique" id= "COMORE_resultats_modelisation-mathematique"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Jean-Luc Gouzé, Claude Lobry, Tewfik Sari.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>modélisation en biologie, système dynamique, automatique non linéaire, modèles mathématiques en biologie .</i></p> <p>C. Lobry et T. Sari ont travaillé sur une approche de type "perturbation singulière" de la question de la stabilité des systèmes. L'objectif est de trouver des conditions sur les systèmes (1) et (2) qui assurent la stabilité de systèmes composites du type : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <img width="9" height="23" align="middle" border="0" src="img1.png" alt="$\displaystyle \dot{x}$" /></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> =</td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)    (1)</td> </tr> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <img width="10" height="23" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$\displaystyle \dot{y}$" /></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> =</td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <i>g</i>(<img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \lambda$" />, <i>x</i>, <i>y</i>)    (2)</td> </tr> </table> </div>lorsque (1) est asymptotiquement stable en <span class= "MATH"><i>x</i></span> pour <span class="MATH"><i>y</i> = 0</span> et (2) « converge de plus en plus vite vers 0 quand <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \lambda$" /></span> tend vers l'infini ». Le sens de cette dernière expression est bien compris lorsque <span class="MATH"><i>g</i></span> est linéaire par rapport à <span class="MATH"><i>y</i></span>  <span class="MATH">(<i>g</i>(<img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \lambda$" />, <i>x</i>, <i>y</i>) = <i>A</i>(<img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \lambda$" />, <i>x</i>)<i>y</i>)</span>, mais reste à préciser dans le cas général. On propose une formalisation de ces questions qui permet de généraliser le théorème de Tychonov. Ce dernier résultat a des applications dans la question des rétroactions et observateurs à grands gains. Un article est soumis [<a href="bibliographie_Toc.html#LobSar00" target= "contents">36</a>].<br /> <p>C. Lobry a continué à considérer la théorie de certains automates cellulaires (voir [<a href= "bibliographie_Toc.html#LobElm99" target="contents">19</a>]). En collaboration avec J-P. Allouche (LRI, Paris XI), il a poursuivi l'étude de l'automate "AVN" défini pour représenter l'évolution de successions de mosaïques végétales.</p> <p>Nous travaillons à des problèmes concernant les modèles généralisés de Lotka-Volterra, qui sont en fait des systèmes différentiels polynomiaux à variables positives ; on cherche des méthodes pour étudier la stabilité globale ou pour décrire le comportement qualitatif, puis le réguler ([<a href="bibliographie_Toc.html#Gou00" target= "contents">29</a>]).<br /></p> </body>