Projet : CONGE - conge

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Stabilisation des systèmes par feedback</a></h2> <a name="CONGE_fondements_module-2" id= "CONGE_fondements_module-2"></a> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <p><i>On considère des systèmes du type :<br /></i></p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i></i> <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"><img width="9" height="23" align="middle" border="0" src="img1.png" alt="$\displaystyle \dot{x}$" /></td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"><i>f</i> (<i>x</i>, <i>u</i>)</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> <p>soit en dimension finie auquel cas <span class= "MATH"><i>f</i></span> est une équation différentielle ordinaire, soit en dimension infinie auquel cas <span class="MATH"><i>f</i></span> est un opérateur sur un espace de Hilbert,</p> <p>et les systèmes :<br /></p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <i>x</i><sub>n</sub></td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"><i>f</i> (<i>x</i><sub>n - 1</sub>, <i>u</i><sub>n</sub>).</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> <p>Le problème est de trouver une loi de commande <span class="MATH"><i>u</i>(<i>x</i>)</span>, dépendante de l'état <span class="MATH"><i>x</i></span>, tel que le système avec cette loi (système bouclé) soit asymptotiquement stable. En dimension infinie, on s'intéressera aux diverses notions de stabilité (faible, forte, exponentielle...). La stabilité pourra être locale ou globale. Dans le cas des systèmes en dimension finie, nous nous intéresserons à l'adjonction de bruits, les sytèmes devenant stochastiques. Si les systèmes dynamiques stochastiques ne sont pas un sujet de recherche pour le projet, leur utilisation est un moyen pour nous de valider la robustesse des lois stabilisantes au bruits de mesures et aux pertubations.</p> </div> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>système hybride .</i></p> <div id="glossaire" style= "margin-left: 2em;margin-right: 2em;"> <hr /> <dl title="Glossaire"> <dt><b>Système hybride :</b></dt> <dd><i>Se dit d'un système couplant des systèmes d'équations différentielles ordinaires contrôlées et des équations aux dérivées partielles.</i></dd> </dl> <hr /> </div> <p>Dans tous les types de systèmes considérés, de dimension finie ou à paramètres répartis, déterministes ou stochastiques, discrets ou continus, les techniques de Lyapunov-Lasalle jouent un grand rôle.</p> <p>Une technique de stabilisation est l'utilisation du théorème de Jurdjevic-Quinn : si on considère un système affine en le contrôle  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt="$ \dot{x}$" /> = <i>f</i> (<i>x</i>) + <i>ug</i>(<i>x</i>)</span>, si le champ <span class="MATH"><i>f</i></span> est dissipatif et si <span class="MATH"><i>f</i></span> et <span class= "MATH"><i>g</i></span> vérifient une condition portant sur les crochets de Lie <span class="MATH">[<i>f</i>, <i>g</i>]</span>,  <span class="MATH">[<i>f</i>,[<i>f</i>, <i>g</i>]]...</span> alors on peut trouver un feedback stabilisateur.</p> <p>Nous utilisons aussi la technique du <span class= "textit">backstepping</span> qui est adaptée aux systèmes triangulaires inférieurs ; le résultat de base est le suivant : considérons le système</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="0h"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="13" height="48" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \dot{x} & = & f(x) + g(x,y) y\ \dot{y} & = & u + h(x,y) \end{array}}\right.$" /><img width="141" height="44" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot{x} & = & f(x) + g(x,y) y\ \dot{y} & = & u + h(x,y) \end{array}$" /></td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">1</span>)</td> </tr> </table> </div>où  <span class="MATH"><img width="44" height="23" align="middle" border="0" src="img6.png" alt= "$x \in \ensuremath{\mathbf{R}}^{n}$" /></span>,  <span class="MATH"><img width="36" height="23" align="middle" border="0" src="img7.png" alt= "$y \in \ensuremath{\mathbf{R}}$" /></span>,  <span class="MATH"><img width="38" height="23" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$u \in \ensuremath{\mathbf{R}}$" /></span> est l'entrée, <span class="MATH"><i>f</i></span> et <span class= "MATH"><i>g</i></span> sont des fonctions de classe  <span class="MATH">C<sup>2</sup></span> et <span class= "MATH"><i>f</i> (0) = 0</span>. S'il existe une loi de commande  <span class="MATH"><i>x</i> <img width="15" height="10" align="bottom" border="0" src="img9.png" alt="$ \mapsto$" /> <i>v</i>(<i>x</i>)</span> stabilisant le sous-système  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt="$ \dot{x}$" /> = <i>f</i> (<i>x</i>) + <i>g</i>(<i>x</i>, <i>v</i>)<i>v</i></span> alors le système (<a href="fonde_module-2_Toc.html#0h">1</a>) est globalement asymptotiquement stabilisable par une loi de commande de classe  <span class="MATH">C<sup>1</sup></span>. De nombreuses lois de commande stabilisantes peuvent être déterminées grâce à cette technique et il s'agit de choisir celles qui donnent les meilleurs résultats dans un contexte donné. <p>Le <span class="textit">forwarding</span> est adapté aux systèmes triangulaires supérieurs du type (forme feedforward) :</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="2e"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="15" height="84" align="middle" border="0" src="img10.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \dot{x}_1 & = & h_{01}(x_1) ... ... & \vdots & \ \dot{x}_n & = & f_0(x_n) + f_2(x_n,u) u \end{array}}\right.$" /><img width="325" height="83" align="middle" border="0" src="img11.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot{x}_1 & = & h_{01}(x_1) + h_{11}(x_2, \dot... ..._n,u)u \ & \vdots & \ \dot{x}_n & = & f_0(x_n) + f_2(x_n,u) u \end{array}$" /></td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">2</span>)</td> </tr> </table> </div>La synthèse d'un feedback stabilisant s'obtient, sous certaines hypothèses, après un changement de variable ; il faut remarquer que les lois de commande obtenues sont bornées. <p>Notons que les techniques du backstepping et du forwarding peuvent être combinées entre elles, ce qui permet de stabiliser les systèmes dits entrelacés qui ne sont ni de forme feedback ni de forme feedforward mais peuvent être décomposés en des sous systèmes interconnectés appartenant à ces deux familles.</p> <p>Un théorème bien connu dû à Lyapunov permet de conclure à la stabilité asymptotique d'un équilibre. Considérons un système  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt="$ \dot{x}$" /> = <i>f</i> (<i>x</i>)</span> avec <span class="MATH"><i>f</i> (0) = 0</span>, s'il existe une fonction <span class= "MATH"><i>V</i></span> définie positive telle que  <span class="MATH"><img width="36" height="12" align="bottom" border="0" src="img12.png" alt= "$ {\dfrac{\partial V}{\partial x}}$" /> <sup>.</sup> <i>f</i> (<i>x</i>)</span> est définie négative alors on peut conclure à la stabilité asymptotique de l'équilibre. La connaissance d'une telle fonction de Lyapunov est souvent nécessaire pour la conception d'une loi de commande stabilisante (<span class="textit">cf</span> backstepping). Cependant un résultat (dû à Kalitine et Bulgakov) permet d'utiliser des fonctions qui sont seulemnet <span class= "textit">semi-définies</span> positives, la recherche de telles fonctions est évidemment plus simple et leur utilisation permet de trouver plus facilement des feedbacks stabilisants.</p> <p>Le projet étudie aussi les systèmes hybrides. Nous entendons par systèmes hybrides des systèmes modélisés par des équations différentielles ordinaires contrôlées, couplées à des équations aux dérivées partielles. Un exemple typique est un système mécanique rigide muni d'appendices souples.</p> </body>