Projet : EPATR - epatr

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html238" href= "fonde_module-7_mn.html#SECTION00031100000000000000" target="main"><small>Sémantique synchrone</small></a></li> <li><a name="tex2html239" href= "fonde_module-7_mn.html#SECTION00031200000000000000" target="main"><small>Langage Signal</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00031000000000000000">Spécification et programmation synchrone</a></h2> <a name="EPATR_fondements_module-7"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>conception synchrone, sémantique synchrone, programmation synchrone, Signal, transformation de programme .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Nous définissons la sémantique fonctionnelle d'un programme synchrone comme un ensemble de suites de valuations des variables de ce programme dans un domaine de valeurs complété par une représentation de l'absence d'occurrence d'une variable. Les opérateurs du langage Signal décrivent des relations sur de telles suites. Le compilateur de Signal est un outil formel capable de synthétiser la synchronisation globale d'un programme et l'ordonnancement de ses calculs. De nombreuses phases de compilation s'expriment par des transformations de programmes définies par des homomorphismes de programmes Signal.</i> </div> <p>Les usages différents des termes <em>synchrone</em> et <em>asynchrone</em> selon les contextes dans lesquels ils apparaissent font qu'il nous semble nécessaire de préciser, autant que possible, ce qui constitue l'essence même du paradigme synchrone [<a href= "bibliographie_Toc.html#benven91" target= "contents">BB91</a>,<a href="bibliographie_ct.html#benven93" target="contents">BCLH93</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#berry89" target= "contents">Ber89</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#halbwachs93" target= "contents">Hal93</a>]. Les points suivants apparaissent comme caractéristiques de l'approche synchrone :</p> <ul> <li>Le comportement des programmes synchrones progresse via une suite infinie d'actions composées.</li> <li>Chaque action composée est constituée d'un nombre borné d'actions élémentaires, pour les langages Esterel, Lustre et Signal.</li> <li>À l'intérieur d'une action composée, les décisions peuvent être prises sur la base de l' <em>absence</em> de certains événements, comme il apparaît sur l'exemple des trois instructions suivantes, issues respectivement de Esterel, Lustre, et Signal : <table cols="2"> <col align="left" /> <col align="left" /> <tr> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>present x else `stat'</tt></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> l'action <tt>stat</tt> est exécutée en l'absence du signal <tt>x</tt>.</td> </tr> <tr> <td> </td> <td> </td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>y = current x</tt></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap">en l'absence d'occurrence du signal <tt>x</tt>,</td> </tr> <tr> <td> </td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>y</tt> prend la valeur de la dernière occurrence de <tt>x</tt>.</td> </tr> <tr> <td> </td> <td> </td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>y := x default z</tt></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap">en l'absence d'occurrence des signaux <tt>x</tt> et <tt>z</tt>,</td> </tr> <tr> <td> </td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>y</tt> est absent,</td> </tr> <tr> <td> </td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> sinon en l'absence d'occurrence du signal <tt>x</tt>,</td> </tr> <tr> <td> </td> <td valign="baseline" align="left" nowrap="nowrap"> <tt>y</tt> prend la valeur de <tt>z</tt>.</td> </tr> </table> </li> <li><em>Lorsqu'elle est définie,</em> la composition parallèle de deux programmes s'exprime toujours par la composition des couples d'actions composées qui leur sont respectivement associées, elle-même obtenue par la conjonction de leurs actions élémentaires respectives.</li> </ul>Pour ce qui concerne la spécification de programmes (ou de propriétés), la règle ci-dessus est clairement la bonne définition de la composition parallèle. <p>S'il s'agit également de programmation, la nécessité que cette définition soit compatible avec une sémantique opérationnelle complique largement la condition «lorsqu'elle est définie».</p> <h3><a name="SECTION00031100000000000000"></a><a name= "semantique"></a><br /> Sémantique synchrone</h3> <p>La sémantique fonctionnelle d'un programme Signal est décrite comme l'ensemble des suites admissibles de valuations des variables de ce programme dans un domaine de valeurs complété par la notation d'absence d'occurrence [<a href= "bibliographie_Toc.html#sigart-benven91" target= "contents">4</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#art-ATDFC-91-sem_distr" target= "contents">9</a>].</p> <p>Considérant :</p> <ul> <li><span class="MATH"><i>A</i></span>, un ensemble de variables,</li> <li><span class="MATH"><i>D</i></span>, un domaine de valeurs incluant les booléens,</li> <li><span class="MATH"><img width="12" height="11" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \bot$" /></span>, n'appartenant pas à <span class= "MATH"><i>D</i></span>,</li> </ul>une <em>trace</em> <span class="MATH"><i>T</i></span> sur  <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \subset$" /> <i>A</i></span> est une fonction  <span class="MATH"><i>T</i> : <b>N</b> <img width="15" height="9" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt= "$ \rightarrow$" /> <i>A</i><sub>1</sub> <img width="15" height="9" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt= "$ \rightarrow$" /> (<i>D</i> <img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \cup$" /> {<img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src= "img1.png" alt="$ \bot$" />})</span>. <p>Pour tout  <span class="MATH"><i>k</i> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img5.png" alt="$ \in$" /> <b>N</b></span>, un événement sur <span class= "MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span> est une valuation <span class="MATH"><i>T</i>(<i>k</i>)</span> : une trace est une suite d'événements. On appelle événement nul l'événement dans lequel chaque valeur est égale à <span class="MATH"><img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \bot$" /></span>.</p> <p>Pour toute trace <span class="MATH"><i>T</i></span>, il existe une trace <span class="MATH"><i>F</i></span> unique appelée <em>flot</em>, notée  <span class="MATH"><img width="23" height="24" align="middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \it flot$" />(<i>T</i>)</span>, dont la sous-suite des événements non nuls est égale à celle de <span class= "MATH"><i>T</i></span> et initiale dans <span class= "MATH"><i>F</i></span>. La projection  <span class="MATH"><img width="22" height="22" align="middle" border="0" src="img7.png" alt= "$ \pi_{A_2}^{}$" />(<i>F</i>)</span> sur un sous-ensemble  <span class="MATH"><i>A</i><sub>2</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \subset$" /> <i>A</i><sub>1</sub></span> d'un flot <span class="MATH"><i>F</i></span>, défini sur <span class= "MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span>, est le flot  <span class="MATH"><img width="23" height="24" align="middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \it flot$" />(<i>T</i>)</span> pour <span class= "MATH"><i>T</i></span> trace des restrictions des événements de <span class="MATH"><i>F</i></span> à <span class= "MATH"><i>A</i><sub>2</sub></span>.</p> <p>Un <em>processus</em> <span class="MATH"><i>P</i></span> sur <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span> est alors défini comme un ensemble de flots sur <span class= "MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span>. L'union de l'ensemble des processus sur  <span class="MATH"><i>A</i><sub>i</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \subset$" /> <i>A</i></span> est noté  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img8.png" alt= "$ \mathcal {P}$" /><sub>A</sub></span>.</p> <p>Étant donné <span class="MATH"><i>P</i><sub>1</sub></span> et <span class="MATH"><i>P</i><sub>2</sub></span> deux processus définis respectivement sur des ensembles de variables <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span> et <span class="MATH"><i>A</i><sub>2</sub></span>, leur composition, notée <span class="MATH"><i>P</i><sub>1</sub>| <i>P</i><sub>2</sub></span>, est l'ensemble des flots <span class="MATH"><i>F</i></span> définis sur  <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub> <img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt= "$ \cup$" /> <i>A</i><sub>2</sub></span> tels que  <span class="MATH"><img width="22" height="22" align="middle" border="0" src="img9.png" alt="$ \pi_{A_1}^{}$" />(<i>F</i>) <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src= "img5.png" alt="$ \in$" /> <i>P</i><sub>1</sub></span> et  <span class="MATH"><img width="22" height="22" align="middle" border="0" src="img7.png" alt="$ \pi_{A_2}^{}$" />(<i>F</i>) <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src= "img5.png" alt="$ \in$" /> <i>P</i><sub>2</sub></span>. La composition de deux processus <span class= "MATH"><i>P</i><sub>1</sub></span> et <span class= "MATH"><i>P</i><sub>2</sub></span> est ainsi définie par l'ensemble de tous les flots respectant, en particulier sur les variables communes, l'ensemble des contraintes imposées respectivement par <span class= "MATH"><i>P</i><sub>1</sub></span> et <span class= "MATH"><i>P</i><sub>2</sub></span>.</p> <p>Soit  <span class="MATH"><img width="19" height="22" align="middle" border="0" src="img10.png" alt= "$ \mbox{${\bf 1}_{\mathcal{P}}$}$" /></span> le processus ayant comme seul élément la trace (unique) sur l'ensemble vide de variables. On montre alors que  <span class="MATH">(<img width="13" height="12" align= "bottom" border="0" src="img8.png" alt= "$ \mathcal {P}$" /><sub>A</sub>,<img width="19" height="22" align="middle" border="0" src="img10.png" alt= "$ \mbox{${\bf 1}_{\mathcal{P}}$}$" />,|)</span> est un monoïde commutatif (cette propriété rend possibles les transformations de programmes mentionnées en <a href= "fonde_module-7_Toc.html#langage">3.1.2</a>) :<br /></p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap">(<i>P</i><sub>1</sub>| <i>P</i><sub>2</sub>)| <i>P</i><sub>3</sub> = <i>P</i><sub>1</sub>|(<i>P</i><sub>2</sub>| <i>P</i><sub>3</sub>)</td> </tr> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><i>P</i><sub>1</sub>| <i>P</i><sub>2</sub> = <i>P</i><sub>2</sub>| <i>P</i><sub>1</sub></td> </tr> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><i>P</i>|<img width="18" height="22" align="middle" border="0" src="img11.png" alt= "$\displaystyle \mbox{${\bf 1}_{\mathcal{P}}$}$" /> = <i>P</i></td> </tr> </table> </td> <td> </td> <td> </td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> De plus, pour tout  <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \subset$" /> <i>A</i></span>, les processus  <span class="MATH"><img width="19" height="22" align="middle" border="0" src="img12.png" alt= "$ \bf0_{\mathcal{P}}^{}$" /></span> définis par l'ensemble vide de flots sur <span class= "MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span> sont absorbants :<br /> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><i>P</i>|<img width="18" height="22" align="middle" border="0" src="img13.png" alt= "$\displaystyle \mbox{${\bf0}_{\mathcal{P}}$}$" /> = <img width="18" height="22" align="middle" border="0" src="img13.png" alt= "$\displaystyle \mbox{${\bf0}_{\mathcal{P}}$}$" /> </td> </tr> </table> </td> <td> </td> <td> </td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> Enfin, l'opérateur de composition est idempotent (ceci autorise la réplication de processus) :<br /> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><i>P</i>| <i>P</i> = <i>P</i></td> </tr> </table> </td> <td> </td> <td> </td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> <p>Par ailleurs, si <span class="MATH"><i>P</i></span> est un processus sur <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span> et <span class="MATH"><i>Q</i></span> un processus sur <span class="MATH"><i>A</i><sub>2</sub></span> inclus dans <span class="MATH"><i>A</i><sub>1</sub></span>, on a :<br /></p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><i>P</i>| <i>Q</i> = <i>P</i></td> </tr> </table> </td> <td> </td> <td> </td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> si et seulement si tout flot de la projection de <span class= "MATH"><i>P</i></span> sur <span class= "MATH"><i>A</i><sub>2</sub></span> est un flot de <span class="MATH"><i>Q</i></span> (<span class= "MATH"><i>Q</i></span> est moins contraint que <span class= "MATH"><i>P</i></span>). <h3><a name="SECTION00031200000000000000"></a><a name= "langage"></a><br /> Langage Signal</h3> <p>Un programme Signal [<a href= "bibliographie_Toc.html#art-ProcIEEE-91-gen_lang" target= "contents">8</a>] spécifie un système temps réel au moyen d'un système d'équations dynamiques sur des <em>signaux</em>. Les systèmes d'équations peuvent être organisés de manière hiérarchique en sous-systèmes (ou <em>processus</em>). Un signal est une suite de valeurs à laquelle est associée une <em>horloge,</em> qui définit l'ensemble discret des instants auxquels ces valeurs sont présentes (différentes de <span class="MATH"><img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \bot$" /></span>). Les horloges ne sont pas nécessairement reliées entre elles par des fréquences d'échantillonnage fixes : elles peuvent avoir des occurrences dépendant de données locales ou d'événements externes (comme des interruptions, par exemple).</p> <p>Le langage Signal est construit sur un petit nombre de primitives, dont la sémantique est donnée en termes de processus tels que décrits ci-dessus. Les autres opérateurs de Signal sont définis en terme de ces primitives, et le langage complet fournit les constructions adéquates pour une programmation modulaire.</p> <p>Pour un flot <span class="MATH"><i>F</i></span>, une variable <span class="MATH"><i>X</i></span> et un entier <span class="MATH"><i>t</i></span> on note, lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, <span class= "MATH"><i>X</i><sub>t</sub></span> la valeur <span class= "MATH"><i>F</i>(<i>t</i>)(<i>X</i>)</span> portée par <span class="MATH"><i>X</i></span> en <span class= "MATH"><i>t</i></span> dans le flot <span class= "MATH"><i>F</i></span>. On note par le même symbole une variable ou une fonction dans les domaines syntaxique et sémantique. Dans le tableau ci-dessous, on omet les événements nuls (qui, rappelons-le, terminent les flots ayant un nombre fini d'événements non nuls).</p> <p>Le noyau de Signal se compose des primitives suivantes :</p> <ul> <li>Fonctions ou relations étendues aux suites :<br />  <div align="center" class="mathdisplay"> <tt>Y := f(X1,..., Xn)</tt>  : <img width="14" height="44" align="middle" border="0" src="img14.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \forall k, {\tt Y}_k =\ \bot\... ...ghtarrow\ {\tt Y}_k = {\tt f}({\tt X1}_k,...,{\tt Xn}_k) \end{array} }\right.$" /> <img width="220" height="44" align="middle" border="0" src="img15.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} \forall k, {\tt Y}_k =\ \bot\ \Rightarrow\ {\tt... ... \bot\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt f}({\tt X1}_k,...,{\tt Xn}_k) \end{array}$" /> </div> </li> <li>Retard (registre à décalage) :<br />  <div align="center" class="mathdisplay"> <tt>Y := X $1 init v0</tt>  : <img width="16" height="61" align="middle" border="0" src="img16.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \forall k, {\tt Y}_k =\ \bot\... ...}_{k} \neq\ \bot\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt X}_{k-1} \end{array} }\right.$" /> <img width="188" height="61" align="middle" border="0" src="img17.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} \forall k, {\tt Y}_k =\ \bot\ \Rightarrow\ {\tt... ...>0, {\tt Y}_{k} \neq\ \bot\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt X}_{k-1} \end{array}$" /> </div> </li> <li>Extraction sur condition booléenne :<br />  <div align="center" class="mathdisplay"> <tt>Y := X when B</tt>  : <img width="10" height= "24" align="middle" border="0" src="img18.png" alt= "$\displaystyle \forall$" /><i>k</i>,<img width="13" height="44" align="middle" border="0" src="img19.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} {\tt B}_k\ \neq\ true\ \Right... ... {\tt B}_k\ = true\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt X}_k \end{array} }\right.$" /><img width="148" height="44" align="middle" border="0" src="img20.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} {\tt B}_k\ \neq\ true\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = \bot\ {\tt B}_k\ = true\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt X}_k \end{array}$" /> </div> </li> <li>Mélange avec priorité :<br />  <div align="center" class="mathdisplay"> <tt>Y := U default V</tt>  : <img width="10" height="24" align="middle" border="0" src="img18.png" alt="$\displaystyle \forall$" /><i>k</i>,<img width= "13" height="44" align="middle" border="0" src= "img21.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} {\tt U}_k\ \neq\ \bot\ \Right... ... {\tt U}_k\ = \bot\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt V}_k \end{array} }\right.$" /><img width="136" height="44" align="middle" border="0" src="img22.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} {\tt U}_k\ \neq\ \bot\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt U}_k\ {\tt U}_k\ = \bot\ \Rightarrow\ {\tt Y}_k = {\tt V}_k \end{array}$" /> </div> </li> </ul> <p>La composition de deux processus <span class= "MATH"><i>P</i>| <i>Q</i></span> se traduit directement en la composition des ensembles de flots associés à chacun d'eux.</p> <p>La restriction de visibilité de <tt>X</tt>, <tt><span class="MATH"><i>P</i></span> / X</tt> est la projection de l'ensemble des flots associés à <span class= "MATH"><i>P</i></span> sur l'ensemble des variables obtenu en enlevant <tt>X</tt> à celles de <span class= "MATH"><i>P</i></span>.</p> <p>Comme on peut le voir pour les primitives, chaque signal a sa propre référence temporelle (son «horloge», ou ensemble des instants où il est différent de <span class= "MATH"><img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \bot$" /></span>). Par exemple, les deux premières primitives sont monocadencées : elles imposent que tous les signaux impliqués aient la même horloge. En revanche, dans la troisième et la quatrième primitives, les différents signaux peuvent avoir des horloges différentes. L'horloge d'un programme Signal est alors la <em>borne supérieure</em> de toutes les horloges des différents signaux du programme (les instants du programme sont les instants de l'un au moins de ces signaux).</p> <p>Le compilateur de Signal consiste principalement en un système formel capable de raisonner sur les horloges des signaux, la logique, et les graphes de dépendance. En particulier, le <em>calcul d'horloges</em> [<a href= "bibliographie_Toc.html#sigart-amagbe95b" target= "contents">1</a>] et le calcul de dépendances fournissent une synthèse de la synchronisation globale du programme à partir de la spécification des synchronisations locales (qui sont données par les équations Signal), ainsi qu'une synthèse de l'ordonnancement global des calculs spécifiés. Des contradictions et des inconsistances peuvent être détectées au cours de ces calculs.</p> <p>On peut toujours ramener un programme <span class= "MATH"><i>P</i></span> comportant des variables locales à un programme, égal à <span class="MATH"><i>P</i></span>, de la forme <tt><span class="MATH"><i>Q</i></span>/A1/.../An</tt> où <span class="MATH"><i>Q</i></span> est une composition de processus élémentaires sans restriction de visibilité (i.e., sans <tt><span class="MATH"><i>R</i></span>/A</tt>). Un principe général de transformation de programmes que nous appliquons (dans un but de vérification, pour aller vers la mise en oeuvre, pour calculer des abstractions de comportement) est alors de définir des homomorphismes  <span class="MATH"><img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img23.png" alt= "$ \mbox{$\mathcal{T}_i$}$" /></span> sur les programmes Signal, tels que <span class="MATH"><i>Q</i></span> est égal à la composition de ses transformés par  <span class="MATH"><img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img23.png" alt= "$ \mbox{$\mathcal{T}_i$}$" /></span>. Grâce aux propriétés du monoïde commutatif, la transformation qui à <span class= "MATH"><i>Q</i></span> associe cette composition est elle-même un homorphisme. On sépare ainsi un programme en différentes parties sur lesquelles seront alors appliqués des traitements spécifiques.</p> </body>