Projet : ESTIME - estime

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html159" href= "fonde_module-2_mn.html#SECTION00031100000000000000" target="main" id="tex2html159"><small>D'où proviennent les problèmes inverses</small></a></li> <li><a name="tex2html160" href= "fonde_module-2_mn.html#SECTION00031200000000000000" target="main" id="tex2html160"><small>Difficultés des problèmes inverses</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Problèmes inverses</a></h2>  <a name="ESTIME_fondements_module-2" id= "ESTIME_fondements_module-2"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>problème inverse, estimation de paramètre, moindres carrés .</i></p> <div id="glossaire" style= "margin-left: 2em;margin-right: 2em;"> <hr /> <dl title="Glossaire"> <dt><b>Problème mal posé</b></dt> <dd><i>Problème dont la solution n'existe pas, ou si elle existe, n'est pas unique ou ne dépend pas de faÇon continue des données</i></dd> <dt><b>Moindres carrés</b></dt> <dd><i>On cherche à minimiser l'erreur quadratique entre les mesures réelles et les quantités correspondantes calculées par le modèle pour divers jeux de paramètres</i></dd> </dl> <hr /> </div> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Un problème inverse, ou d'estimation de paramètres, consiste à rechercher les coefficients d'une équation aux dérivées partielles, à partir de mesures sur sa solution. Une formulation aux moindres carrés utilisant les techniques de contrÔle optimal est une faÇon naturelle de poser ce problème.</i> <p><i>Les problèmes inverses sont typiquement mal posés, ce qui donne une grande importance à leur formulation. D'autres difficultés spécifiques sont dues à la grande taille des problèmes rencontrés, au calcul exact du gradient de la fonction coût, au choix de la paramétrisation, ainsi qu'aux questions théoriques liées à l'identifiabilité.</i></p> </div> <h3><a name="SECTION00031100000000000000" id= "SECTION00031100000000000000">D'où proviennent les problèmes inverses</a></h3>Considérant une équation aux dérivées partielles ou un système de telles équations, le problème direct consiste à calculer la solution, connaissant les coefficients et les termes sources. Cependant, ces coefficients et ces termes sources sont souvent mal connus. Pour terminer la modélisation, il faut donc encore résoudre le problème inverse : étant données des mesures sur une observation de la solution, calculer une estimation des coefficients et/ou des termes sources de l'équation ou du système d'équations considéré. <p>La classe de problèmes considérés actuellement porte essentiellement sur l'estimation de coefficients. Ceux-ci peuvent dépendre soit de la variable d'espace, soit du temps, soit être des fonctions de la solution (non-linéarités de l'équation). Le problème d'estimation de paramètres est formulé comme un problème de minimisation au sens des moindres carrés, la variable de minimisation étant le vecteur des paramètres à estimer, et la fonction à minimiser étant une évaluation en norme <span class= "MATH"><i>L</i><sup>2</sup></span> de la différence entre l'observation calculée par le modèle avec un jeu donné de paramètres et celle mesurée effectivement. Dans les problèmes abordés le nombre de paramètres sera grand (d'une vingtaine à un million), ce qui conduit à l'utilisation pour l'optimisation de méthodes itératives de type gradient utilisant l'état adjoint.</p> <h3><a name="SECTION00031200000000000000" id= "SECTION00031200000000000000"></a> <a name= "difficultesdesproblemesinverses" id= "difficultesdesproblemesinverses"></a><br /> Difficultés des problèmes inverses</h3>Les problèmes inverses, tels qu'ils viennent d'être rapidement décrits, présentent de nombreuses difficultés liées à leur non-linéarité, à leur taille, au fait qu'ils sont très gourmands en temps de calcul et qu'ils sont souvent mal posés. Ils se formulent comme des problèmes d'optimisation, souvent de grande taille. <p>Depuis les travaux de J.-L. Lions et de G. Chavent au début des années 70 montrant comment résoudre les problèmes d'estimation de coefficients par les techniques de contrÔle optimal, le savoir-faire a considérablement évolué et on peut aujourd'hui identifier les directions de recherche suivantes comme essentielles :</p> <ul> <li>Choix de la formulation : suivant la faÇon dont est formulé le problème inverse--choix des paramètres à estimer, choix de la fonctionnelle à minimiser--le problème de minimisation associé est plus ou moins bien posé. Une bonne compréhension du problème physique est nécessaire pour faire les bons choix.</li> <li>Choix de la paramétrisation : c'est souvent un problème non trivial de choisir la représentation discrète des paramètres à estimer. Ce choix a aussi une influence sur le conditionnement du problème de minimisation associé et sur l'unimodalité de la fonction coût, comme l'a montré le succès des paramétrisations multi-échelles.</li> <li>Génération automatique de logiciels : l'écriture de programmes calculant le gradient par la méthode de l'état adjoint est toujours longue et laborieuse, alors que cette procédure pourrait être automatisée. Deux voies, s'appliquant à des situations différentes sont possibles : génération automatique simultanée des programmes de calcul de la fonction à minimiser et de son gradient--ainsi le programme Gradj écrit en Maple et développé au sein de Ident et Estime--, ou génération du seul programme de calcul du gradient à partir d'un programme déjà existant de calcul de la fonction à minimiser--voie choisie par exemple par Odyssée développé au sein du projet Safir. Cette deuxième voie s'impose quand de gros programmes de calcul existent déjà, alors que la première est plus adaptée quand le simulateur peut être réécrit.</li> <li>Efficacité dans la résolution du problème direct : dans les problèmes que nous considérons la résolution du problème direct est très coûteuse. On doit donc chercher à améliorer les techniques de résolution de ce problème--amélioration des méthodes numériques, utilisation du parallélisme--ou à utiliser des modèles simplifiés. Une partie de ce travail est fait en dehors du projet (par exemple dans le projet Ondes pour la sismique, et dans le projet Aladin pour l'algèbre linéaire).</li> <li>Identifiabilité : la question se pose toujours, de faÇon théorique et pratique, de savoir si les mesures sont suffisantes pour estimer les paramètres que l'on cherche, et comment l'incertitude sur les mesures se répercute sur les paramètres estimés. Les questions de stabilité et d'identifiabilité sont donc au coeur de l'estimation de paramètres et sont intimement liées au choix de la paramétrisation.</li> <li>Optimisation : les problèmes inverses se ramenant à des problèmes d'optimisation, il est nécessaire d'avoir à sa disposition des méthodes d'optimisation efficaces adaptées aux difficultés de ses problèmes, en particulier non-linéarité, grande taille, coût important de la fonction à minimiser.</li> </ul> </body>