Projet : ESTIME - estime

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html173" href= "fonde_module-3_mn.html#SECTION00032100000000000000" target="main" id="tex2html173"><small>Éléments finis et volumes finis</small></a></li> <li><a name="tex2html174" href= "fonde_module-3_mn.html#SECTION00032200000000000000" target="main" id="tex2html174"><small>Décomposition de domaines</small></a></li> <li><a name="tex2html175" href= "fonde_module-3_mn.html#SECTION00032300000000000000" target="main" id="tex2html175"><small>Calcul parallèle</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00032000000000000000" id= "SECTION00032000000000000000">Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles</a></h2>  <a name="ESTIME_fondements_module-3" id= "ESTIME_fondements_module-3"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>élément fini, volume fini, calcul parallèle, décomposition de domaine .</i></p> <div id="glossaire" style= "margin-left: 2em;margin-right: 2em;"> <hr /> <dl title="Glossaire"> <dt><b>Décomposition de domaine</b></dt> <dd><i>Technique de résolution d'un problème qui consiste à partitionner son domaine de définition en plusieurs sous-domaines.</i></dd> <dt><b>MPI, Message Passing Interface</b></dt> <dd><i>Spécification d'une bibliothèque standard permettant de faire communiquer des processus s'exécutant sur des processeurs différents d'une machine parallèle.</i></dd> </dl> <hr /> </div> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les méthodes de discrétisation appropriées pour les problèmes en milieu hétérogène sont les volumes finis centrés sur les mailles et les éléments finis mixtes ou mixtes-hybrides. Les méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement permettent de décomposer le domaine de calcul en sous-domaines sur lesquels sont définis des modèles physiques différents. La mise en oeuvre parallèle est une nécessité pour les problèmes de grande taille.</i> </div> <h3><a name="SECTION00032100000000000000" id= "SECTION00032100000000000000">Éléments finis et volumes finis</a></h3>Les méthodes de volumes finis centrés sur les mailles sont particulièrement adaptées aux problèmes où les coefficients varient beaucoup. C'est le cas, en particulier, des problèmes concernant les écoulements en milieu poreux. Ainsi la composante normale vitesse de Darcy,  <span class="MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \vec{u}\,$" /> = - <i>K</i><img width="30" height="31" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \vec{\mbox{grad}}\,$" /><i>P</i></span>, reste régulière même lorsque la perméabilité absolue <span class= "MATH"><i>K</i></span> varie beaucoup, pour satisfaire les propriétés de conservation des différents fluides (phases). Cette situation se retrouve dans d'autres applications comme la diffusion neutronique ou les semi-conducteurs. En utilisant les moyennes harmoniques de <span class= "MATH"><i>K</i></span>, les méthodes de volumes finis centrés sur les mailles permettent d'obtenir de bonnes approximations de la vitesse de Darcy, même lorsque <span class= "MATH"><i>K</i></span> varie beaucoup, tout en respectant les propriétés de conservation au niveau de la maille de discrétisation. <p>Les méthodes d'éléments finis mixtes sont une généralisation de ces méthodes de volumes finis centrés sur les mailles qui, s'appuyant sur des formulations variationnelles, ont permis de traiter le cas des maillages non-structurés utilisant des mailles triangulaires ou tétrahèdriques. Les éléments finis mixtes ont permis aussi de traiter le cas où <span class="MATH"><i>K</i></span> n'est plus ni un coefficient scalaire ni même une matrice diagonale, mais une matrice pleine en dimension 2 ou 3. Cependant ces méthodes sont plus coûteuses que les méthodes de volumes finis puisqu'il faut résoudre un système linéaire pour déduire la vitesse <span class= "MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \vec{u}\,$" /></span> de la pression <span class="MATH"><i>P</i></span>. De plus, étant plus abstraites car basées sur la formulation variationnelle, ces méthodes ont moins d'attrait pour les physiciens.</p> <p>Une direction de recherche prometteuse explorée actuellement consiste à chercher des transformations algébriques permettant de calculer une approximation mixte en utilisant seulement des inconnues de type volume fini, ce qui permet de concilier la souplesse de l'approximation mixte et l'efficacité numérique des volumes finis.</p> <h3><a name="SECTION00032200000000000000" id= "SECTION00032200000000000000">Décomposition de domaines</a></h3>Les méthodes de décomposition de domaines peuvent être utilisées en vue d'une implémentation parallèle efficace, mais elles peuvent être aussi un outil pour assembler des domaines dans lesquels des modèles physiques différents doivent être utilisés. <p>Pour les écoulements finis en milieux poreux, on peut être ainsi amené à utiliser un modèle monophasique dans une partie du domaine qui est saturée, un modèle diphasique ou triphasique dans une région qui est non-saturée, un modèle double porosité là où le milieu est fracturé, et des failles peuvent traverser le milieu. Parfois, même si le modèle ne change pas, une variation brusque du milieu--changement de type de roche--introduit des conditions de transmission non-standard sur l'interface.</p> <p>Pour ce genre de problèmes, les méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement sont appropriées. Elles permettent de faire coïncider les sous-domaines de calcul avec les sous-domaines physiques. Évidemment, ces méthodes doivent pouvoir utiliser des pas de temps locaux car les échelles de temps associées aux différents sous-domaines peuvent varier beaucoup.</p> <h3><a name="SECTION00032300000000000000" id= "SECTION00032300000000000000">Calcul parallèle</a></h3>Comme cela a été souligné plus haut, aussi bien les problèmes inverses que la modélisation en milieu poreux sont de gros consommateurs de calcul. Il est donc naturel de se tourner vers les techniques utilisant le calcul parallèle, tant pour réduire le temps de calcul, que pour accéder à une mémoire plus importante. <p>Une classe de méthodes générales pour obtenir des algorithmes parallèles pour la résolution d'équations aux dérivées partielles sont les méthodes de décomposition de domaine. Ces méthodes ont été étudiées de faÇon intensive dans le cas des problèmes elliptiques. Elles constituent actuellement le moyen le plus général d'obtenir des applications portables et efficaces sur une large gamme d'ordinateurs parallèles. Leur mise en oeuvre effective est facilitée par l'existence de bibliothèques telles que MPI. Nous étudions des extensions de leur champ d'application dans différentes directions :</p> <ul> <li>Pour la simulation d'écoulements en milieu poreux. Il s'agit d'adapter la méthode à des problèmes avec des conditions de raccord non-standards sur l'interface, par exemple conditions de discontinuité, conditions non-linéaires, conditions non-locales.</li> <li>Pour le calcul de criticité dans les réacteurs nucléaires qui se formule comme un problème aux valeurs propres non-symétrique. Nous proposons d'étendre à ce problème la méthode de synthèse modale qui n'a été utilisée jusqu'ici que dans le cas d'opérateurs symétriques.</li> <li>Pour la simulation de la propagation des ondes par des méthodes d'éléments finis. L'utilisation des éléments d'ordre élevés développés au sein du projet Ondes conduit à une méthode explicite pour laquelle la mise en oeuvre est plus simple que pour les problèmes stationnaires.</li> </ul> </body>