Projet : FRACTALES - fractales

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00063000000000000000" id= "SECTION00063000000000000000">Intégration-stochastique</a></h2> <a name="FRACTALES_resultats_Integration-stochastique" id= "FRACTALES_resultats_Integration-stochastique"></a> <p>Processus Fractals, Intégration stochastique, Équations différentielles stochastiques et instruments Financiers</p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>mouvement brownien multifractionnaire, intégrale stochastique, marché financier, volatilité .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Jacques Lévy Véhel, Moustapha Ndoye.<br /> <br /></p> <blockquote> En collaboration avec Agnès Sulem (INRIA Rocquencourt). </blockquote> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>L'étude théorique du mouvement brownien multifractionnaire est motivée par les problèmes en mathématiques financières : données financières non stationnaires, structure fractale du marché. Des informations essentielles sont contenues dans la manière dont les instruments financiers évoluent. Cette notion peut être formalisée par les équations différentielles stochastiques relatives au mouvement brownien multifractionnaire.</i> </div> <p>Après avoir introduit l'intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien multifractionnaire, nous avons établi le théorème de Fubini et étudié les équations différentielles stochastiques relatives au mbm de la forme</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq1" id="eq1"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><i>dX</i>(<i>s</i>) = <i>b</i>(<i>s</i>, <i>X</i>(<i>s</i>))<i>ds</i> + <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img64.png" alt= "$\displaystyle \sigma$" />(<i>s</i>)<i>d</i><img width="11" height="23" align="middle" border="0" src="img35.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {B}$" /><sub>s</sub><sup><img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img65.png" alt="$\scriptstyle \mathcal {H}$" />(s)</sup></td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">2</span>)</td> </tr> </table> </div>où  <span class="MATH"><img width="11" height="34" align="middle" border="0" src="img66.png" alt= "$ \left(\vphantom{\mathcal{B}_s^{\mathcal{H}(s)}}\right.$" /><img width="11" height="12" align="bottom" border="0" src="img37.png" alt= "$ \mathcal {B}$" /><sub>s</sub><sup><img width="11" height= "22" align="middle" border="0" src="img65.png" alt= "$\scriptstyle \mathcal {H}$" />(s)</sup><img width="29" height="34" align="middle" border="0" src="img67.png" alt= "$ \left.\vphantom{\mathcal{B}_s^{\mathcal{H}(s)}}\right)_{s \geq 0}^{}$" /></span> est un mouvement brownien multifractionnaire avec une fonction  <span class="MATH"><img width="14" height="12" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt="$ \mathcal {H}$" /></span> à valeurs dans  <span class="MATH">]<img width="10" height="28" align= "middle" border="0" src="img69.png" alt= "$ {\frac{1}{2}}$" />, 1[</span>.<br /> L'existence et l'unicité de (<a href= "resul_Integration-st_Toc.html#eq1">2</a>) sont ainsi obtenues et un schéma numérique établi. Nous avons étudié la stabilité des équations différentielles stochastiques multifractionnaires. Ainsi, si <span class= "MATH"><i>X</i><sub>1</sub></span> et <span class= "MATH"><i>X</i><sub>2</sub></span> sont deux diffusions browniennes multifractionnaires engendrées par le même mouvement brownien directeur, associées respectivement aux fonctions  <span class="MATH"><img width="14" height="12" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt= "$ \mathcal {H}$" /><sub>1</sub></span> et  <span class="MATH"><img width="14" height="12" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt= "$ \mathcal {H}$" /><sub>2</sub></span>,<br /> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <i>X</i><sub>1</sub>(<i>t</i>)</td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"> <i>X</i><sub>1</sub>(0) + <img width="19" height="43" align="middle" border="0" src="img70.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{t}$" /><i>b</i>(<i>s</i>, <i>X</i><sub>1</sub>(<i>s</i>))<i>ds</i> + <img width= "19" height="43" align="middle" border="0" src= "img70.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{t}$" /><img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img64.png" alt= "$\displaystyle \sigma$" />(<i>s</i>)<i>d</i><img width="11" height="23" align="middle" border="0" src="img35.png" alt="$\displaystyle \mathcal {B}$" /><sup><img width= "11" height="22" align="middle" border="0" src= "img65.png" alt= "$\scriptstyle \mathcal {H}$" /><sub>1</sub>(s)</sup>(<i>s</i>)</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">3</span>)</td> </tr> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <i>X</i><sub>2</sub>(<i>t</i>)</td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"> <i>X</i><sub>2</sub>(0) + <img width="19" height="43" align="middle" border="0" src="img70.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{t}$" /><i>b</i>(<i>s</i>, <i>X</i><sub>2</sub>(<i>s</i>))<i>ds</i> + <img width= "19" height="43" align="middle" border="0" src= "img70.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{t}$" /><img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img64.png" alt= "$\displaystyle \sigma$" />(<i>s</i>)<i>d</i><img width="11" height="23" align="middle" border="0" src="img35.png" alt="$\displaystyle \mathcal {B}$" /><sup><img width= "11" height="22" align="middle" border="0" src= "img65.png" alt= "$\scriptstyle \mathcal {H}$" /><sub>2</sub>(s)</sup>(<i>s</i>)</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">4</span>)</td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> Alors,  <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="33" height="36" align="middle" border="0" src= "img71.png" alt= "$\displaystyle \sup_{t \in [0, T]}^{}$" /><i>E</i><img width="11" height="34" align="middle" border="0" src="img72.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{\vert X_1(t)-X_2(t)\vert^2}\right.$" />| <i>X</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) - <i>X</i><sub>2</sub>(<i>t</i>)|<sup>2</sup><img width="10" height="34" align="middle" border="0" src="img73.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{\vert X_1(t)-X_2(t)\vert^2}\right)$" /><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img74.png" alt= "$\displaystyle \le$" /><i>k</i><img width="13" height="48" align="middle" border="0" src="img75.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{E[(X_1(0)-X_2(0))^2] +\Vert\sigma\Vert _{\infty}\sup_{t \in [0, T]}\vert\mathcal{H}_1(t) - \mathcal{H}_2(t)\vert^2}\right.$" /><i>E</i>[(<i>X</i><sub>1</sub>(0) - <i>X</i><sub>2</sub>(0))<sup>2</sup>] + |<img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img64.png" alt= "$\displaystyle \sigma$" />|<sub><img width="13" height= "22" align="middle" border="0" src="img76.png" alt= "$\scriptstyle \infty$" /></sub><img width="33" height="36" align="middle" border="0" src="img71.png" alt= "$\displaystyle \sup_{t \in [0, T]}^{}$" />|<img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img77.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {H}$" /><sub>1</sub>(<i>t</i>) - <img width="13" height="23" align="middle" border="0" src= "img77.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {H}$" /><sub>2</sub>(<i>t</i>)|<sup>2</sup><img width="14" height="48" align="middle" border="0" src="img78.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{E[(X_1(0)-X_2(0))^2] +\Vert\sigma\Vert _{\infty}\sup_{t \in [0, T]}\vert\mathcal{H}_1(t) - \mathcal{H}_2(t)\vert^2}\right)$" /><i>e</i><sup>2T<sup>2</sup>K<sup>2</sup></sup> </div>Le but que se fixe maintenant notre étude est de modéliser certains cours financiers, d'évaluer les prix des options (pricing d'option) et de faire la gestion de portefeuille. </body>