Projet : LEMME - lemme

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00032000000000000000" id= "SECTION00032000000000000000">Formalisation de théories mathématiques</a></h2> <a name="LEMME_fondements_formalisation" id= "LEMME_fondements_formalisation"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>formalisation, mathématiques .</i></p> <p>Le but de ce thème est d'étudier comment des théories mathématiques où interviennent de nombreux types d'objets peuvent être représentées dans le calcul des constructions inductives (CCI en abrégé), de faÇon à être aussi lisibles et utilisables que possible par quelqu'un qui en a une connaissance scolaire ou académique.</p> <p>Ce thème est très lié aux autres, en ce sens qu'il doit fournir des fondements sémantiques aux objets des environnements de preuves, et des bibliothèques d'objets, lemmes et théorèmes de base pour alléger le travail de preuve des algorithmes mathématiques, dont la preuve nécessite souvent de connaître et de manipuler de larges pans des mathématiques classiques.</p> <p>Le CCI est assez puissant pour formaliser des mathématiques complexes : structures algébriques avec leurs dépendances et leurs opérations (comme le système de calcul formel Axiom l'a fait), mais aussi, et surtout puisqu'on veut faire des démonstrations, toutes leurs propriétés logiques, ce qui reste très marginal dans les systèmes de calcul scientifique. Le CCI permet aussi d'écrire des algorithmes, sous forme de programmes fonctionnels récursifs, avec des structures de données riches. Enfin, avec l'isomorphisme de Curry-Howard, le CCI est un langage de manipulation des preuves mathématiques. Mais ce langage est difficile d'accès, un peu comme un assembleur, bien que sa concision et sa puissance le rendent très élégant pour l'initié.</p> <p>Le système Coq, les interfaces CtCoq et Pcoq offrent des outils qui permettent souvent une formalisation satisfaisante : les <i>``record''</i>, les <i>coercions</i>, le <i>pretty-printer</i> PPML, la syntaxe extensible de Coq par exemple. Mais de nombreux problèmes restent à résoudre : héritage multiple, complexité de l'empilement des coercions et du typage entre structures algébriques, manipulation difficile des types dépendants dans les preuves et les constructions d'objets, absence de sous-typage et de quotient dans le CCI.</p> </body>