Projet : LEMME - lemme

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html403" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063100000000000000" target="main" id="tex2html403"><small>Algorithme de Stålmarck en Coq</small></a></li> <li><a name="tex2html404" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063200000000000000" target="main" id="tex2html404"><small>Formalisation des flottants en Coq</small></a></li> <li><a name="tex2html405" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063300000000000000" target="main" id="tex2html405"><small>Arithmétique en base arbitraire en Coq</small></a></li> <li><a name="tex2html406" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063400000000000000" target="main" id="tex2html406"><small>Expansions flottantes en Coq</small></a></li> <li><a name="tex2html407" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063500000000000000" target="main" id="tex2html407"><small>La transformée de Fourier rapide en Coq</small></a></li> <li><a name="tex2html408" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063600000000000000" target="main" id="tex2html408"><small>Etude des fonctions récursives</small></a></li> <li><a name="tex2html409" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063700000000000000" target="main" id="tex2html409"><small>Changements de structure de données</small></a></li> <li><a name="tex2html410" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063800000000000000" target="main" id="tex2html410"><small>Certification d'algorithmes d'enveloppes convexes</small></a></li> <li><a name="tex2html411" href= "resul_certification_mn.html#SECTION00063900000000000000" target="main" id="tex2html411"><small>Formalisation des calculs sur les quaternions pour le contrÔle d'attitude des satellites</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00063000000000000000" id= "SECTION00063000000000000000">Certification d'algorithmes</a></h2> <a name="LEMME_resultats_certification" id= "LEMME_resultats_certification"></a> <h3><a name="SECTION00063100000000000000" id= "SECTION00063100000000000000">Algorithme de Stålmarck en Coq</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>formules booléennes, vérification de programme, Coq .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Laurent Théry.<br /> <br /></p> <p>L'algorithme de Stålmarck est un des plus efficaces pour déterminer si une formule booléenne est une tautologie. En 1998, lors de son stage de première année de magistère, Pierre Letouzey avait prouvé la correction de l'algorithme de base et en avait dérivé une première implantation certifiée. Cette implantation étant peu efficace, un ensemble d'optimisations permettant d'appliquer la nouvelle implantation à des problèmes de taille conséquente (plus de 500 connecteurs logiques) a été validé.</p> <p>Ce travail a aussi permis de développer à l'intérieur de Coq une tactique qui se sert de l'algorithme de Stålmarck pour prouver des tautologies. La solution d'interpréter directement l'algorithme dans Coq ayant des problèmes de performance, l'algorithme a été divisé en une première phase de recherche et une seconde de vérification. La première phase est effectuée en dehors de Coq et retourne en cas de succès une trace d'exécution. L'interprétation de cette trace d'exécution nécessitant moins de calculs est effectuée dans Coq et permet d'accepter la tautologie en toute sûreté.</p> <p>Ce travail a donné lieu à une publication dans les actes de la conférence TPHOL [<a href= "bibliographie_Toc.html#stalmarck" target="contents">6</a>]. Les résultats de ce travail sont accessibles par le web à l'adresse suivante <a name="tex2html15" href= "http://www-sop.inria.fr/lemme/stalmarck/index.html" target= "_top" id= "tex2html15">http://www-sop.inria.fr/lemme/stalmarck/index.html</a>.</p> <h3><a name="SECTION00063200000000000000" id= "SECTION00063200000000000000">Formalisation des flottants en Coq</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>nombres flottants, norme IEEE754, certification .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Laurent Théry.<br /> <br /></p> <p>Dans le cadre de l'action de recherche coopérative AOC (Arithmétique des Ordinateurs Certifiée), Laurent Théry a commencé la formalisation des flottants machine suivant la norme IEEE 754. S'inspirant d'un premier travail de Patrick Loiseleur, il a introduit les nombres flottants et prouvé certaines de leurs propriétés élémentaires. Ce travail servira de base pour les travaux ultérieurs de l'action AOC.</p> <h3><a name="SECTION00063300000000000000" id= "SECTION00063300000000000000">Arithmétique en base arbitraire en Coq</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Michel Hirschowitz, Laurent Théry.<br /> <br /></p> <p>Dans le cadre de son stage de maîtrise (1 mois), Michel Hirschowitz a développé une bibliothèque permettant d'effectuer des calculs (addition, soustraction, multiplication et division) dans une base arbitraire dans le démonstrateur Coq. En plus de ces opérations, une fonction de conversion permet de passer d'une base à l'autre. Ce travail se place dans le cadre de l'action AOC.</p> <h3><a name="SECTION00063400000000000000" id= "SECTION00063400000000000000">Expansions flottantes en Coq</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Sébastien Bardin, Laurent Théry.<br /> <br /></p> <p>Dans le cadre de première année à l'IIE (2 mois et demi), Sébastien Bardin s'est attaqué à la formalisation des expansions flottantes dans Coq. Une expansion flottante est une liste de nombres flottants décroissante. Le nombre representé par une expansion est la somme de ses éléments. On peut définir sur ces expansions une arithmétique qui permet d'effectuer du calcul exact sur de grands nombres. Sébastien Bardin a introduit les notions de base des expansions s'appuyant sur la formalisation des flottants machines. Il a ensuite prouvé la correction de l'opérateur arithmétique <tt>FastTwoSum</tt> qui, étant donné deux nombres flottants, retourne une expansion formée de l'arrondi de leur somme et de son erreur . Il a ensuite formalisé l'addition de deux expansions, sans en prouver cependant la correction. Ce travail se place dans le cadre de l'action AOC.</p> <h3><a name="SECTION00063500000000000000" id= "SECTION00063500000000000000">La transformée de Fourier rapide en Coq</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Venanzio Capretta.<br /> <br /></p> <p>Durant son séjour de deux mois dans le projet, Venanzio Capretta (en thèse avec H. Barendregt à Niemegen) a démontré en Coq la correction de la tranformée de Fourier rapide et de son inverse. Pour cela, il a utilisé une représentation particulière des polynÔmes en arbres avec les coefficients des puissances paires dans la branche gauche, et les coefficients des puissances impaires dans la branche droite, et cela récursivement.</p> <p>Pour faciliter les preuves d'égalités sur ces arbres, il a utilisé une méthode de réflexion : il a défini un type des contextes d'arbres et un opérateur qui prouve l'égalité des substitutions de deux arbres égaux dans un même contexte.</p> <p>La représentation en arbres n'est pas bonne pour prouver la correction de la transformée de Fourier inverse. Pour cela il a utilisé une deuxième représentation des polynÔmes comme fonctions d'un type fini vers le domaine des coefficients. Pour conclure ce développement, il a encore à prouver que les deux représentations sont équivalentes.</p> <p>Venanzio Capretta a utilisé Pcoq puis Ctcoq pour développer les preuves. Ces outils lui ont permis de développer les preuves plus rapidement qu'avec les outils auxquels il était habitué.</p> <h3><a name="SECTION00063600000000000000" id= "SECTION00063600000000000000">Etude des fonctions récursives</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Antonia Balaa, Yves Bertot.<br /> <br /> <p>Nous avons continué cette année l'étude de l'utilisation des fonctions récursives basées sur des ordres bien fondés dans Coq. Ces résultats ont mené à l'implémentation d'un jeu de commandes utilisables dans le système de preuve Coq. Ces commandes permettent la définition d'une fonction récursive basée sur un ordre bien fondé et effectuent une analyse sur cette fonction pour construire automatiquement un théorème important sur cette fonction.</p> <p>Ces travaux ont donné lieu à une publication dans la conférence TPHOLs'2000 ``Fix-point Equations for Well-Founded Recursion in Type Theory'' [<a href= "bibliographie_Toc.html#tphols2000" target= "contents">4</a>].<br /> L'adresse Web de cette conférence est :<br /> <a name="tex2html16" href= "http://www.cse.ogi.edu/tphols2000/default.htm" target="_top" id= "tex2html16">http://www.cse.ogi.edu/tphols2000/default.htm</a>.</p> <h3><a name="SECTION00063700000000000000" id= "SECTION00063700000000000000">Changements de structure de données</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Nicolas Magaud, Yves Bertot.<br /> <br /> <p>Nous avons commencé un travail sur la traduction de preuves d'une structure de donnée à une autre. Les expériences menées les années précédentes sur la certification d'algorithmes de calcul mathématique ont montré que les développements de preuves étaient très sensibles aux choix de structure de données. En particulier, si le développeur découvre qu'il doit changer sa structure de donnée pour améliorer l'efficacité de l'algorithme ou l'aisance avec laquelle il peut faire une preuve, il est souvent amené à refaire une grande partie du travail de preuve déjà effectué. Notre objectif est de comprendre si une grande partie de se travail peut être automatisée, en effectuant des traductions automatiques de preuves d'une structure de donnée dans une autre.</p> <p>Une première solution a été ébauchée et une implémentation a été construite. Elle mène à un module qui peut être chargé dans le système et a déjà été utilisé avec succès pour traduire des démonstrations entre plusieurs faÇons de représenter les entiers naturels.</p> <p>Ces travaux sont décrits dans un rapport [<a href= "bibliographie_Toc.html#MB00a" target="contents">15</a>] et ont donné lieu à un article soumis pour publication [<a href= "bibliographie_Toc.html#MB00b" target="contents">18</a>].</p> <h3><a name="SECTION00063800000000000000" id= "SECTION00063800000000000000">Certification d'algorithmes d'enveloppes convexes</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> David Pichardie, Yves Bertot.<br /> <br /> <p>Pour élargir le spectre des algorithmes certifiés en Coq, nous avons abordé la certification d'algorithmes de géométrie algorithmique. Nous nous sommes basés sur un ouvrage de D. Knuth décrivant les suppositions de base qui permettent de comprendre le fonctionnement des algorithmes d'enveloppe convexe. En partant d'une représentation du plan comme <span class="MATH"><i>R</i><sup>2</sup></span>, nous avons montré que les suppositions de Knuth (qu'il appelle axiomes) étaient vérifiées, et nous avons utilisé ces propositions pour établir le bon fonctionnement d'un algorithme de calcul d'enveloppe convexe. Nous avons ensuite montré que ce travail s'adaptait bien pour certifier des algorithmes différents. Le point qui reste à approfondir dans ce domaine est le traitement des positions dégénérées, habituellement ignorées par les auteurs du domaine de la géométrie algorithmique, mais incontournables en terme de certification de logiciel.</p> <h3><a name="SECTION00063900000000000000" id= "SECTION00063900000000000000">Formalisation des calculs sur les quaternions pour le contrÔle d'attitude des satellites</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Loïc Pottier, Laurence Rideau.<br /> <br /> <p>Suite à des discussions avec un ingénieur d'Alcatel Space Industry (Cannes), nous nous sommes intéressés à formaliser les quaternions en Coq. En effet le produit de quaternions est l'opération de base des codes permettant le contrÔle d'attitude des satellites. Nous avons d'une part formalisé les quaternions sur <span class="MATH"><i>R</i></span> en Coq et prouvé qu'ils formaient un corps non commutatif. D'autre part, partant d'une procédure en ADA, nous avons formalisé un produit de vecteurs de dimension 4 (incluant la gestion de mémoire) et nous avons prouvé en Coq que le vecteur résultat de la procédure calculait bien le produit des quaternions correspondants. Cette preuve a été menée en supposant que nous travaillions sur les Réels. L'étape suivante (en cours) consiste à refaire la preuve avec des flottants (puisque c'est le cas du programme ADA de départ). Pour cela, nous voulons nous appuyer sur la formalisation de la norme IEEE754 des flottants réalisée par Laurent Théry dans le cadre d'AOC.</p> </body>