Projet : LOGICAL - logical

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00034000000000000000" id= "SECTION00034000000000000000">Preuves et Programmes</a></h2>  <a name="LOGICAL_fondements_demonstrations-programmes" id= "LOGICAL_fondements_demonstrations-programmes"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>isomorphisme de Curry-Howard, réalisabilité, logique intuitionniste, calcul des constructions inductives .</i></p> <p>La principale originalité du Calcul des Constructions Inductives est que les démonstrations y sont des objets au même titre que les nombres, les fonctions ou les ensembles. Ainsi un entier pair est représenté par un couple formé d'un entier et d'une démonstration que cet entier est pair. Une autre originalité de ce formalisme est que chaque terme exprimant un objet d'un type de données, peut se réduire sur une valeur de ce type de données. Par exemple, le terme <span class="MATH">2 + 5</span> se réduit sur la valeur <span class="MATH">7</span>.</p> <p>Ces propriétés combinées permettent de concevoir la spécification d'un programme comme une relation liant la valeur d'entrée et la valeur de sortie de ce programme. En effet, si <span class="MATH"><i>Q</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> est une telle relation, une démonstration dans le <span class="textit">Calcul des Constructions Inductives</span> de la totalité de cette relation (c'est-à-dire de la proposition  <span class="MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \forall$" /><i>x</i><img width="10" height="11" align= "bottom" border="0" src="img3.png" alt= "$ \exists$" /><i>yQ</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</span>) est en fait une fonction qui, à tout objet <span class= "MATH"><i>a</i></span> associe un objet <span class= "MATH"><i>b</i></span> et une démonstration de <span class= "MATH"><i>Q</i>(<i>a</i>, <i>b</i>)</span>. À partir de cette démonstration, il est possible d'exprimer dans le calcul à la fois un programme fonctionnel et sa démonstration de correction. La fonction <span class="MATH"><i>f</i></span> appliquée à l'entrée <span class="MATH"><i>a</i></span> se réduira pour fournir la sortie <span class= "MATH"><i>b</i></span>.</p> <p>Mais les démonstrations ne sont pas, en général, des programmes efficaces, et il est nécessaire, en pratique, d'éliminer certaines parties de ces démonstrations non pertinentes pour le calcul : cette étape s'appelle l'extraction de programme. Les programmes extraits peuvent alors être traduits dans un langage de programmation ordinaire tel que ML, puis compilés en langage machine.</p> <p>Dans cette approche, la spécification du programme est vue comme une formule mathématique et le programme certifié est obtenu à partir de la démonstration de cette formule.</p> <p>Cette interprétation est particulièrement adaptée à la programmation fonctionnelle mais fournit également des techniques de démonstration de programmes impératifs.</p> </body>