Projet : MATHFI - mathfi

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00066000000000000000" id= "SECTION00066000000000000000">ContrÔle stochastique ergodique - Application en gestion de portefeuilles avec coûts de transaction</a></h2> <a name="MATHFI_resultats_ergodique" id= "MATHFI_resultats_ergodique"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>contrÔle ergodique, contrÔle stochastique singulier .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> M. Akian (projet Metalau), A. Sulem, M. Taksar (Stony Brook University New York).<br /> <br /></p> <p>Nous avons achevé l'étude des inéquations variationnelles ergodiques associées à l'optimisation d'un taux moyen de profit.</p> <p>Le modèle est celui décrit au paragraphe <a href= "domai_mathfi_Toc.html#commande">4.1.3</a>, mais sans consommation  <span class="MATH">(<i>c</i>(<i>t</i>) <img width="12" height="10" align="bottom" border="0" src="img47.png" alt= "$ \equiv$" /> 0)</span> : soit un agent possédant un actif non risqué et <span class="MATH"><i>n</i></span> actifs risqués modélisés par des processus de diffusion log-normaux. On suppose que les transactions entre comptes entraînent des coûts proportionnels au montant de la transaction et sont modélisés par des contrÔles singuliers. A chaque politique admissible  <span class="MATH">(<img width="12" height="12" align= "bottom" border="0" src="img48.png" alt= "$ \mathcal {L}$" />,<img width="18" height="12" align= "bottom" border="0" src="img49.png" alt= "$ \mathcal {M}$" />)</span>, on associe les deux fonctionnelles de performance suivantes:</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="2.4g"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"> <i>J</i><sup><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img40.png" alt= "$\scriptstyle \gamma$" /></sup>(<img width="12" height="23" align="middle" border="0" src="img50.png" alt="$\displaystyle \mathcal {L}$" />,<img width="18" height="23" align="middle" border="0" src="img51.png" alt="$\displaystyle \mathcal {M}$" />) = <img width= "39" height="31" align="middle" border="0" src= "img52.png" alt= "$\displaystyle \liminf_{T\rightarrow +\infty}^{}$" /><i>T</i><sup>-1</sup>(1 - <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img31.png" alt= "$\displaystyle \gamma$" />)<sup>-1</sup>log<i>E</i><img width="9" height="34" align="middle" border="0" src="img53.png" alt= "$\displaystyle \left[\vphantom{ W(T)^{1-\gamma}}\right.$" /><i>W</i>(<i>T</i>)<sup>1 - <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img40.png" alt= "$\scriptstyle \gamma$" /></sup><img width="10" height= "34" align="middle" border="0" src="img54.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{ W(T)^{1-\gamma}}\right]$" />,    <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img31.png" alt="$\displaystyle \gamma$" /> <img width="12" height= "22" align="middle" border="0" src="img23.png" alt= "$\displaystyle \geq$" /> 0,  <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img31.png" alt="$\displaystyle \gamma$" /><img width="12" height= "24" align="middle" border="0" src="img55.png" alt= "$\displaystyle \ne$" />1.</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">5</span>)</td> </tr> </table> </div> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="2.4"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"> <i>J</i><sup>1</sup>(<img width="12" height="23" align= "middle" border="0" src="img50.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {L}$" />,<img width="18" height="23" align="middle" border="0" src="img51.png" alt="$\displaystyle \mathcal {M}$" />) = <img width= "39" height="31" align="middle" border="0" src= "img52.png" alt= "$\displaystyle \liminf_{T\rightarrow +\infty}^{}$" /><i>T</i><sup>-1</sup><i>E</i>{log<i>W</i>(<i>T</i>)}</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">6</span>)</td> </tr> </table> </div>où  <span class="MATH"><img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img38.png" alt="$ \gamma$" /> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img56.png" alt= "$ \geq$" /> 0</span> représente le coefficient d'aversion au risque. Jusqu'à présent nous nous sommes intéressés au critère <span class="MATH"><i>J</i><sup>1</sup></span> uniquement, c'est à dire au cas  <span class="MATH"><img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img38.png" alt="$ \gamma$" /> = 1</span>. L'objectif est de calculer <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="2.5"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="24" height="34" align="middle" border="0" src="img57.png" alt= "$\displaystyle \sup_{\mathcal{L},\mathcal{M}}^{}$" /><i>J</i><sup>1</sup>(<img width="12" height="23" align="middle" border="0" src="img50.png" alt="$\displaystyle \mathcal {L}$" />,<img width="18" height="23" align="middle" border="0" src="img51.png" alt="$\displaystyle \mathcal {M}$" />) = : <img width= "11" height="22" align="middle" border="0" src= "img44.png" alt="$\displaystyle \pi$" />.</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">7</span>)</td> </tr> </table> </div> <p>Ce problème se réduit à un problème de contrÔle stochastique singulier avec critère ergodique. On obtient alors le taux moyen maximal <span class="MATH"><img width= "11" height="11" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt="$ \pi$" /></span> ainsi que la fonction potentiel correspondante comme solutions d'une inéquation variationnelle ergodique.</p> <p>L'étude théorique de l'inéquation variationnelle a été menée à l'aide de la notion de solutions de viscosité. Sa résolution numérique a été effectuée à l'aide de l'algorithme FMGH basé sur l'algorithme de Howard et les multigrilles [<a href="bibliographie_Toc.html#aki90b" target= "contents">Aki90</a>]. Nous avons ainsi obtenu la stratégie optimale de transaction. Un article sur ces travaux (cf [<a href="bibliographie_Toc.html#AKSU" target= "contents">13</a>]) a été accepté pour publication dans <em>Mathematical Finance</em>.</p> </body>