Projet : MATHFI - Gestion de portefeuille dans le cas d'un marché gouverné par un mouvement brownien fractionnaire

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00069000000000000000" id= "SECTION00069000000000000000">Gestion de portefeuille dans le cas d'un marché gouverné par un mouvement brownien fractionnaire</a></h2> <a name="MATHFI_resultats_fbm" id="MATHFI_resultats_fbm"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>mouvement brownien fractionnaire .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Y. Hu (Univ. Kansas), B. Øksendal (Univ. d'Oslo), A. Sulem.<br /> <br /></p> <p>On considère un marché de type Black et Scholes mais on remplace dans la dynamique du prix de l'actif risqué le mouvement brownien usuel par un mouvement brownien fractionnaire : Le prix <span class= "MATH"><i>S</i>(<i>t</i>)</span> à l'instant <span class= "MATH"><i>t</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img56.png" alt="$ \geq$" /> 0</span> est ainsi donné par :</p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><i>dS</i>(<i>t</i>) = <i>aS</i>(<i>t</i>)<i>dt</i> + <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$\displaystyle \sigma$" /><i>S</i>(<i>t</i>)<i>dB</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)  ;        <i>S</i>(0) = <i>s</i> > 0 ,</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">9</span>)</td> </tr> </table> </div>où <span class="MATH"><i>a</i> > <i>r</i> > 0</span> et  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img36.png" alt="$ \sigma$" /> <img width="12" height="24" align="middle" border="0" src="img65.png" alt= "$ \not=$" /> 0</span> sont des constantes. <p>Pour <span class="MATH"><i>H</i></span> constant, <span class="MATH">0 < <i>H</i> < 1</span>, le mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst <span class="MATH"><i>H</i></span> est le processus gaussien  <span class="MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>) = <i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>,<img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img66.png" alt= "$ \omega$" />)</span>; <span class="MATH"><i>t</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src= "img56.png" alt="$ \geq$" /> 0</span>,  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img66.png" alt="$ \omega$" /> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img67.png" alt= "$ \in$" /> <img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \Omega$" /></span> de moyenne  <span class="MATH"><i>E</i>[<i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)] = 0</span> pour tout <span class="MATH"><i>t</i> <img width= "13" height="22" align="middle" border="0" src="img56.png" alt="$ \geq$" /> 0</span> et de covariance </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>E</i>[<i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)<i>B</i><sub>H</sub>(<i>s</i>)] = <img width="11" height="28" align="middle" border="0" src="img68.png" alt= "$ {\frac{1}{2}}$" />(<i>t</i><sup>2H</sup> + <i>s</i><sup>2H</sup> - | <i>t</i> - <i>s</i>|<sup>2H</sup>) </div>pour tout <span class="MATH"><i>s</i>, <i>t</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src= "img56.png" alt="$ \geq$" /> 0</span>. On suppose <span class="MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(0) = 0</span>. <p>Si  <span class="MATH"><i>H</i> = <img width="11" height="28" align="middle" border="0" src="img68.png" alt= "$ {\frac{1}{2}}$" /></span> alors <span class= "MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span> coincides avec le mouvement brownien standard <span class= "MATH"><i>B</i>(<i>t</i>)</span>.</p> <p>Si  <span class="MATH"><i>H</i> > <img width="11" height="28" align="middle" border="0" src="img68.png" alt= "$ {\frac{1}{2}}$" /></span> alors <span class= "MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span> vérifie </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="21" height="46" align="middle" border="0" src= "img69.png" alt= "$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$" /><img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img70.png" alt= "$\displaystyle \rho$" />(<i>n</i>) = <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img62.png" alt= "$\displaystyle \infty$" />  . </div>où  <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="10" height="22" align="middle" border="0" src= "img70.png" alt="$\displaystyle \rho$" />(<i>n</i>) = cov(<i>B</i><sub>H</sub>(1), <i>B</i><sub>H</sub>(<i>n</i> + 1) - <i>B</i><sub>H</sub>(<i>n</i>)). </div> <p><span class="MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span> est <em>auto-similaire</em>, ce qui signifie que  <span class="MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt= "$ \alpha$" /><i>t</i>)</span> a la même loi que  <span class="MATH"><img width="20" height="28" align="middle" border="0" src="img71.png" alt= "$ \alpha^{H}_{}$" /><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span>, pour tout <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt="$ \alpha$" /> > 0</span>. Cependant, <span class= "MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span> n'est ni une semi-martingale ni un processus de Markov (voir [<a href= "bibliographie_ct.html#HO" target="contents">HB99</a>]). On se restreint ici au cas  <span class="MATH"><i>H</i> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img67.png" alt="$ \in$" /> (<img width="11" height="28" align="middle" border="0" src= "img68.png" alt="$ {\frac{1}{2}}$" />, 1)</span>. Dans le cas d'un mouvement brownien standard <span class= "MATH"><i>B</i>(<i>t</i>)</span>, l'approche naturelle pour le problème de gestion optimale de portefeuille est la programmation dynamique, qui conduit à l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Dans le cas où <span class= "MATH"><i>B</i>(<i>t</i>)</span> est remplacé par <span class="MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span>, il n'est plus possible d'utiliser cette méthode car le système n'est plus markovien. Nous utilisons la méthode des martingales, introduite par Cox et Huang [<a href= "bibliographie_ct.html#CH" target= "contents">CC89</a>,<a href="bibliographie_ct.html#CH2" target="contents">CC91</a>]. (voir aussi [<a href= "bibliographie_ct.html#KLS" target="contents">KLS87</a>]), ce qui permet, bien que <span class= "MATH"><i>B</i><sub>H</sub>(<i>t</i>)</span> ne soit pas une martingale (ni même une semimartingale) de trouver une solution explicite au problème.</p> <p>De plus, nous avons établi dans [<a href= "bibliographie_ct.html#fbm" target="contents">32</a>] un principe du maximum stochastique pour le contrÔle de systèmes gouvernés par des mouvements browniens fractionnaires. Ceci est appliqué à la résolution d'un problème de consommation optimale avec condition terminale [<a href= "bibliographie_ct.html#fbm2" target="contents">33</a>].</p> <hr /> </body>