Projet : MATHFI - mathfi

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00065000000000000000" id= "SECTION00065000000000000000">ContrÔle optimal de systèmes avec retard</a></h2> <a name="MATHFI_resultats_retard" id= "MATHFI_resultats_retard"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> I. Elsanosi (Univ. d'Oslo), B. Øksendal (Univ. d'Oslo), A. Sulem.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>retard, delay .</i></p> <p>Nous étudions les systèmes décrits par l'équation stochastique différentielle avec retard suivante : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>dX</i>(<i>t</i>) = <i>b</i>(<i>t</i>, <i>X</i>(<i>t</i>), <i>X</i>(<i>t</i> - <img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img30.png" alt= "$\displaystyle \delta$" />), <i>Y</i>(<i>t</i>))<i>dt</i> + <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$\displaystyle \sigma$" />(<i>t</i>, <i>X</i>(<i>t</i>), <i>X</i>(<i>t</i> - <img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img30.png" alt= "$\displaystyle \delta$" />), <i>Y</i>(<i>t</i>))<i>dW</i>(<i>t</i>) - <i>d</i><img width="9" height="22" align="middle" border= "0" src="img31.png" alt= "$\displaystyle \gamma$" />(<i>t</i>) </div>avec  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>Y</i>(<i>t</i>) = <img width="23" height="43" align= "middle" border="0" src="img32.png" alt= "$\displaystyle \int_{- \delta}^{0}$" /><i>e</i><sup><img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img33.png" alt= "$\scriptstyle \lambda$" />s</sup><i>X</i>(<i>t</i>, <i>s</i>)<i>ds</i>, </div>et les valeurs initiales  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>X</i>(<i>s</i>) = <img width="9" height="24" align= "middle" border="0" src="img34.png" alt= "$\displaystyle \xi$" />(<i>s</i>),     - <img width="9" height="24" align="middle" border="0" src= "img30.png" alt="$\displaystyle \delta$" /> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img35.png" alt= "$\displaystyle \leq$" /> <i>s</i> <img width="12" height= "22" align="middle" border="0" src="img35.png" alt= "$\displaystyle \leq$" /> 0 </div>où <span class="MATH"><i>b</i></span> et <span class= "MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img36.png" alt="$ \sigma$" /></span> sont des fonctions données, <span class="MATH"><img width="8" height="12" align= "bottom" border="0" src="img37.png" alt="$ \delta$" /> > 0</span>, et <span class="MATH"><i>W</i></span> est un processus de Wiener. Le processus de contrÔle <span class= "MATH"><img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img38.png" alt="$ \gamma$" />(<i>t</i>)</span> est  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img39.png" alt= "$ \mathcal {F}$" /><sub>t</sub></span>-adapté, croissant, et continu à droite. Il représente des flux de dividendes à optimiser ou bien peut modéliser des stratégies de «harvesting» («pêche») pour les systèmes biologiques. Soit  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>T</i> = inf{<i>t</i> <img width="12" height="22" align= "middle" border="0" src="img23.png" alt= "$\displaystyle \geq$" /> 0  ;  <i>h</i>(<i>s</i> + <i>t</i>)<i>X</i>(<i>t</i>), <i>Y</i>(<i>t</i>)) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src= "img35.png" alt="$\displaystyle \leq$" /> 0} </div>où <span class="MATH"><i>h</i></span> est une fonction donnée. Le critère à optimiser est le suivant:  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>J</i><sup><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img40.png" alt= "$\scriptstyle \gamma$" /></sup>(<i>s</i>,<img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img34.png" alt= "$\displaystyle \xi$" />) = <i>E</i><sup>s,<img width="7" height="22" align="middle" border="0" src="img41.png" alt= "$\scriptstyle \xi$" />,<img width="9" height="22" align= "middle" border="0" src="img40.png" alt= "$\scriptstyle \gamma$" /></sup><img width="11" height="48" align="middle" border="0" src="img42.png" alt= "$\displaystyle \left[\vphantom{\int_0^T u(s+t), X(t), Y(t))dt + \int_0^T \pi(s+t) d \gamma(t) }\right.$" /><img width="22" height="44" align="middle" border="0" src="img43.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{T}$" /><i>u</i>(<i>s</i> + <i>t</i>), <i>X</i>(<i>t</i>), <i>Y</i>(<i>t</i>))<i>dt</i> + <img width="22" height="44" align="middle" border="0" src="img43.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{T}$" /><img width="11" height= "22" align="middle" border="0" src="img44.png" alt= "$\displaystyle \pi$" />(<i>s</i> + <i>t</i>)<i>d</i><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img31.png" alt= "$\displaystyle \gamma$" />(<i>t</i>)<img width="10" height="48" align="middle" border="0" src="img45.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{\int_0^T u(s+t), X(t), Y(t))dt + \int_0^T \pi(s+t) d \gamma(t) }\right]$" /> </div>où <span class="MATH"><i>u</i></span> et <span class= "MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt="$ \pi$" /></span> sont des fonctions d'utilité. <p>Ce problème peut se formuler comme un problème de contrÔle stochastique singulier et conduit à des inéquations variationnelles en dimension infinie à cause du retard. Nous avons obtenu des résultats explicites dans quelques cas particuliers (cf [<a href="bibliographie_Toc.html#oks2" target="contents">15</a>]) et prouvé un théorème de vérification pour ces inéquations variationnelles.</p> <p>D'autre part, nous avons aussi établi un principe du maximum pour des problèmes de contrÔle avec retard, dans le cas de contrÔle régulier et singulier. Ces résultats sont appliqués à la résolution de problèmes de consommation optimale et de gestion de portefeuilles [<a href= "bibliographie_Toc.html#max-delay" target= "contents">28</a>].</p> </body>