Projet : MATHFI - mathfi

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00068000000000000000" id= "SECTION00068000000000000000">Gestion de portefeuille dans un marché gouverné par des processus de diffusion avec sauts</a></h2> <a name="MATHFI_resultats_sauts" id= "MATHFI_resultats_sauts"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>contrÔle stochastique singulier, diffusions avec sauts, processus de diffusion réfléchis, solution de viscosité, inéquation variationelle, équations intégro-différentielles, gestion de portefeuille, coûts de transaction, principe du maximum .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> N.C. Framstand (Univ. d'Oslo), B. Øksendal (Univ. d'Oslo), A. Sulem.<br /> <br /></p> <p>On étudie la politique optimale d'investissement et de consommation d'un agent possédant un actif non risqué et un actif risqué modélisé par un processus de diffusion avec saut (processus de Lévy géométrique ) On suppose donc que le prix <span class="MATH"><i>P</i>(<i>t</i>)</span> de l'actif risqué est un processus càdlàg satisfaisant l'équation différentielle stochastique</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="P_prosessen" id="P_prosessen"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><i>dP</i>(<i>t</i>) = <img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img17.png" alt= "$\displaystyle \alpha$" /><i>P</i>(<i>t</i>)<i>dt</i> + <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$\displaystyle \sigma$" /><i>P</i>(<i>t</i>)<i>dW</i>(<i>t</i>) + <i>P</i>(<i>t</i><sup>-</sup>)<img width="25" height= "39" align="middle" border="0" src="img58.png" alt= "$\displaystyle \int^{\infty}_{-1}$" /><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img27.png" alt="$\displaystyle \eta$" /><img width="14" height= "29" align="middle" border="0" src="img59.png" alt= "$\displaystyle \tilde{N}$" />(<i>dt</i>, <i>d</i><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img27.png" alt= "$\displaystyle \eta$" />);    <i>P</i>(0) = <i>p</i> > 0.</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">8</span>)</td> </tr> </table> </div>où  <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt="$ \alpha$" />, <i>r</i>,<img width="11" height="11" align="bottom" border= "0" src="img36.png" alt="$ \sigma$" /> > 0</span> , <span class="MATH"><i>W</i>(<i>t</i>)</span> est un processus de Wiener,  <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="14" height="29" align="middle" border="0" src= "img59.png" alt="$\displaystyle \tilde{N}$" />(<i>t</i>, <i>A</i>) = <i>N</i>(<i>t</i>, <i>A</i>) - <i>tq</i>(<i>A</i>);    <i>t</i><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img60.png" alt= "$\displaystyle \ge$" />0, <i>A</i> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img25.png" alt= "$\displaystyle \in$" /> <img width="11" height="23" align= "middle" border="0" src="img61.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {B}$" />(- 1,<img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img62.png" alt= "$\displaystyle \infty$" />) </div>est le compensateur d'une mesure aléatoire homogène de Poisson <span class="MATH"><i>N</i>(<i>t</i>, <i>A</i>)</span> sur  <span class="MATH"><b>R</b><sup>+</sup> <tt>x</tt> <img width="11" height="12" align="bottom" border="0" src= "img63.png" alt="$ \mathcal {B}$" />(- 1,<img width="16" height="11" align="bottom" border="0" src="img64.png" alt= "$ \infty$" />)</span> d'intensité  <span class="MATH"><i>E</i>[<i>N</i>(<i>t</i>, <i>A</i>)] = <i>tq</i>(<i>A</i>)</span>, <span class= "MATH"><i>q</i></span> est la mesure de Lévy associée à <span class="MATH"><i>N</i></span>, et  <span class="MATH"><img width="11" height="12" align="bottom" border="0" src="img63.png" alt="$ \mathcal {B}$" />(- 1,<img width="16" height="11" align="bottom" border="0" src= "img64.png" alt="$ \infty$" />)</span> désigne la <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img36.png" alt="$ \sigma$" /></span>-algèbre de Borel sur  <span class="MATH">(- 1,<img width="16" height="11" align= "bottom" border="0" src="img64.png" alt= "$ \infty$" />)</span>. <p>On a montré qu'en l'absence de coûts de transaction, la solution est de la même forme que dans le cas d'une pure diffusion [<a href="bibliographie_Toc.html#MM" target= "contents">FOS98</a>]. En particulier, le portefeuille optimal consiste à conserver dans l'actif risqué une fraction constante de la richesse. Cette constante est plus petite que dans le cas d'une diffusion pure. En présence de coûts de transaction proportionnels, on montre que la solution a la même forme que dans le cas d'une diffusion pure traité par Davis and Norman [<a href="bibliographie_Toc.html#DN" target= "contents">MN90</a>] : il existe sous certaines hypothèses un cÔne de non transaction <span class="MATH"><i>D</i></span> où il est optimal de ne faire aucune transaction tant que la position de l'investisseur s'y trouve et d'acheter et de vendre selon des temps locaux sur la frontière de <span class="MATH"><i>D</i></span>. On établit l'inéquation variationnelle intégro-différentielle associée à ce problème que l'on étudie par la théorie des solutions de viscosité.</p> <p>De plus, nous avons établi un principe du maximum pour les problèmes de contrÔle de processus de diffusion avec sauts [<a href="bibliographie_Toc.html#fosmp" target= "contents">45</a>].</p> </body>