Projet : MATHFI - Le modèle UVM: cas extrêmes et payoffs non réguliers

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00064000000000000000" id= "SECTION00064000000000000000">Le modèle UVM: cas extrêmes et payoffs non réguliers</a></h2> <a name="MATHFI_resultats_uvm" id="MATHFI_resultats_uvm"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>uvm, unknown volatility, volatilté stochastique .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> C. Martini, M. Leblanc.<br /> <br /></p> <p>Marco Avellaneda et al. [<a href= "bibliographie_ct.html#avella" target="contents">ALP95</a>] et Terry Lyons [<a href="bibliographie_ct.html#lyons" target= "contents">Lyo95</a>] ont proposé en 1995, indépendamment, une nouvelle approche pour prendre en compte l'incertitude sur la volatilité du produit primaire (sous-jacent) dans l'évaluation des produits dérivés: rechercher des stratégies de couvertures qui fonctionnent simultanément pour tous les modèles dont la volatilité est dans un intervalle donné (sans autre hypothèse). Du fait de l'absence de consensus sur des modélisations stochastiques de la volatilité en pratique (malgré une théorie très complète au niveau académique), ce modèle (dit UVM pour Unknown Volatility Model) a rencontré un grand succès auprès des professionnels (Avellaneda l'ayant développé au cours de son activité de consultant chez Morgan Stanley). Le prix de l'option dans cette approche est donné par la solution d'un problème de contrÔle stochastique avec contrÔle sur la variance. Malheureusement ceci n'est valide que pour des profils d'option théoriques (de régularité <span class="MATH"><i>C</i><sup>3</sup></span>). C.Martini a traité le cas en 1996 , rencontré dans la pratique, de profils continus. On peut, en se basant sur un résultat nouveau de 1999 sur les lois marginales des intégrales stochastiques, d'une part, et un résultat profond de Fleming et Vermes [<a href="bibliographie_ct.html#ver" target= "contents">WV89</a>] de dualité convexe d'autre part, traiter le cas des payoffs discontinus (options digitales).</p> <p>D'un point de vue analytique, le modèle UVM conduit à une équation d'HJB totalement non-linéaire, avec une donnée terminale éventuellement discontinue. Nos résultats à cet égard semblent nouveaux [<a href="bibliographie_ct.html#m2" target="contents">38</a>].</p> <p>Nous avons aussi traité les cas extrêmes où la volatilité peut s'annuler, et où elle n'est pas bornée supérieurement. Dans le premier cas, C.Martini montre que le prix est celui d'une option américaine dans le modèle de Black&Scholes où la volatilité est la borne supérieure du modèle UVM. Ceci donne une nouvelle caractérisation infinitésimale du problème d'arrêt optimal, qui est la plus compacte dont on dispose, comme une équation d'évolution non-linéaire, sur laquelle on voit directement de nombreuses propriétés de la solution moins immédiates à obtenir sinon.<br /> Dans le second cas, on montre que le prix est celui de l'enveloppe concave supérieure du payoff dans le modèle de Black&Scholes dont la volatilité est la borne inférieure du modèle UVM. Ceci est similaire à un résultat de Cvitani<img width="5" height="10" align="bottom" border="0" src="img29.png" alt="\normalsize{\'{c\/}}" />, Pham et Touzi dans le cadre d'un modèle à volatilité stochastique [<a href= "bibliographie_ct.html#CPT" target="contents">CPT99</a>].</p> <hr /> </body>