Projet : NUMOPT - numopt

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h1><a name="SECTION00030000000000000000" id= "SECTION00030000000000000000"></a> <a name= "NUMOPT_fondements_" id="NUMOPT_fondements_"></a><br /> Fondements scientifiques</h1><a name= "NUMOPT_fondements_fondements" id= "NUMOPT_fondements_fondements"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>optimisation, algorithme numérique, convexité, relaxation lagrangienne, relaxation SDP, optimisation semi-définie positive, contraintes quadratiques .</i></p> <p>Ce projet concerne la minimisation numérique d'une fonction <span class="MATH"><i>f</i></span> de <span class= "MATH"><i>n</i></span> variables sur un domaine  <span class="MATH"><i>D</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img1.png" alt="$ \subset$" /> <i>R</i><sup>n</sup></span>, soit</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="numopt-pggeneral" id="numopt-pggeneral"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap">min<i>f</i> (<i>x</i>) ,    avec <i>x</i> = {<i>x</i><sub>1</sub>,..., <i>x</i><sub>n</sub>} <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$\displaystyle \in$" /> <i>D</i> .</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">1</span>)</td> </tr> </table> </div>Divers cas de figure relèvent plus particulièrement de nos compétences. Leur énumération ci-dessous suit l'ordre décroissant de niveau théorique. <ol> <li>Cas où les dérivées premières de <span class= "MATH"><i>f</i></span> sont discontinues. Pour ces problèmes, des algorithmes existent (méthodes de <em>faisceaux</em>, méthode du centre analytique), et sont implémentés et appliqués à des problèmes d'origines de plus en plus diverses. Nos recherches portent sur les possibilités d'accélération de ces algorithmes, ce qui implique de généraliser convenablement la notion de <em>second ordre</em> en un point où les dérivées premières n'existent pas.</li> <li><em>Problèmes combinatoires</em>, où <span class= "MATH"><i>D</i></span> est un ensemble fini, typiquement un sous-ensemble de <span class="MATH">{0, 1}<sup>n</sup></span>. Nous n'avons pas de compétence particulière dans ce vaste domaine; mais il se trouve que <em>l'analyse convexe</em> y joue un rôle utile, encore méconnu de la communauté scientifique ( <em>relaxation lagrangienne, relaxation semi-définie positive</em>). Nous nous plaçons ici à la charnière entre les trois domaines: continu-combinatoire-convexité.</li> <li>Problèmes de valeurs propres, ou encore optimisation <em>semi-définie positive</em> (<small>SDP</small>). Ici, <span class="MATH"><i>R</i><sup>n</sup></span> est en fait  <span class="MATH"><i>R</i><sup>m(m + 1)/2</sup></span>, l'espace des matrices symétriques. Typiquement, <span class="MATH"><i>f</i></span> est alors la valeur propre maximale (ou, de façon analogue, <span class= "MATH"><i>f</i></span> est linéaire mais <span class= "MATH"><i>D</i></span> est l'ensemble des matrices semi-définies positives). Nos travaux ont ici un double aspect; applicatif d'une part (commande robuste, optimisation combinatoire - point 2. ci-dessus,...) concernant la <em>relaxation <small>SDP</small></em>, et d'autre part méthodologique, résolvant les problèmes <small>SDP</small> par optimisation non différentiable (point 1.), qui vient ainsi complémenter les méthodes de <em>points intérieurs</em>.</li> <li>Problèmes plus ``classiques'' où <span class= "MATH"><i>D</i></span> est soit l'espace <span class= "MATH"><i>R</i><sup>n</sup></span> tout entier, soit défini par des <em>contraintes</em>  <span class="MATH"><i>c</i><sub>i</sub>(<i>x</i>) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src= "img3.png" alt="$ \leq$" /> 0</span>, <span class= "MATH"><i>f</i></span> et les <span class= "MATH"><i>c</i><sub>i</sub></span> étant régulières; éventuellement, <span class="MATH"><i>n</i></span> est grand (<span class="MATH">10<sup>5</sup></span> et plus). Ici, nous jouons le plus souvent un rôle de conseillers, en diverses étapes: modélisation, choix d'une méthodologie, orientation vers les logiciels adaptés ( <em>Modulopt</em>, projet Estime ou action Mocoa, ou encore bibliothèques externes).</li> </ol> </body>