Projet : OMEGA - omega

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html332" href= "resul_Processusstoch_mn.html#SECTION00055100000000000000" target="main" id="tex2html332"><small>Quelques temps d'arrêt du mouvement brownien</small></a></li> <li><a name="tex2html333" href= "resul_Processusstoch_mn.html#SECTION00055200000000000000" target="main" id="tex2html333"><small>Calcul stochastique généralisé</small></a></li> <li><a name="tex2html334" href= "resul_Processusstoch_mn.html#SECTION00055300000000000000" target="main" id="tex2html334"><small>Amplitude de certaines chaines de Markov</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00055000000000000000" id= "SECTION00055000000000000000">Théorie des processus stochastiques et applications</a></h2>  <a name="OMEGA_resultats_Processusstochastiques" id= "OMEGA_resultats_Processusstochastiques"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>processus stochastique, analyse stochastique .</i></p> <h3><a name="SECTION00055100000000000000" id= "SECTION00055100000000000000">Quelques temps d'arrêt du mouvement brownien</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Bernard De Meyer, Bernard Roynette, Pierre Vallois.<br /> <br /> <p>En collaboration avec M. Yor (université de Paris <span class="MATH">6</span>), B. De Meyer, B. Roynette et P. Vallois s'intéressent aux problèmes suivants (<span class= "MATH"><i>B</i><sub>t</sub></span> désigne un mouvement brownien issu de zéro) :</p> <p>- les lois <span class="MATH"><img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img134.png" alt= "$ \mu$" /></span> sur  <span class="MATH"><img width="47" height="23" align="middle" border="0" src="img158.png" alt= "$ \mathbbm {R}_+\times \mathbbm {R}$" /></span> telles qu'il existe un temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> tel que  <span class= "MATH">(<i>T</i>, <i>B</i><sub>T</sub>)</span> soit de loi <span class="MATH"><img width="11" height="22" align= "middle" border="0" src="img134.png" alt= "$ \mu$" /></span>,</p> <p>- les temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> tels que <span class="MATH"><i>T</i></span> et <span class= "MATH"><i>B</i><sub>T</sub></span> soient indépendants,</p> <p>- les temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> tels que <span class= "MATH"><i>B</i><sub>T</sub><sup>1</sup></span> et <span class="MATH"><i>B</i><sub>T</sub><sup>2</sup></span> soient indépendants,  <span class= "MATH">(<i>B</i><sup>1</sup>, <i>B</i><sup>2</sup>)</span> étant un mouvement brownien en dimension <span class= "MATH">2</span>,</p> <p>- les temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> bornés, non constants, tels que <span class= "MATH"><i>B</i><sub>T</sub></span> soit une gaussienne. Un exemple de tel résultat est la construction d'un temps d'arrêt borné non constant tel qu'un mouvement brownien arrêté à ce temps ait une distribution gaussienne. Ceci fournit un contre-exemple à une conjecture de Tortrat.</p> <p>En collaboration avec M. Yor (université de Paris <span class="MATH">6</span>), B. Roynette et P. Vallois ont par ailleurs étudié la loi du couple  <span class="MATH">(<i>B</i><sub>T</sub>, <i>L</i><sub>T</sub>)</span> où <span class= "MATH"><i>T</i></span> est un temps d'arrêt brownien, et  <span class="MATH">(<i>L</i><sub>t</sub>;<i>t</i> <img width= "12" height="22" align="middle" border="0" src="img159.png" alt="$ \geq$" /> 0)</span> désigne le temps local en <span class="MATH">0</span> du mouvement brownien  <span class="MATH">(<i>B</i><sub>t</sub>;<i>t</i> <img width= "12" height="22" align="middle" border="0" src="img159.png" alt="$ \geq$" /> 0)</span>.</p> <h3><a name="SECTION00055200000000000000" id= "SECTION00055200000000000000">Calcul stochastique généralisé</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Mihai Gradinaru, Pierre Vallois.<br /> <br /> <p>Dans une série de travaux précédents, avec F. Russo, nous avions défini la notion d'intégrale stochastique et de crochet généralisés.</p> <p>Errami et Russo ont montré récemment une formule d'Itô avec une fonction <span class="MATH"><i>f</i></span> de classe <span class="MATH"><i>C</i><sup>3</sup></span> et un processus stochastique admettant un crochet "fort" d'ordre trois.</p> <p>Avec M. Gradinaru et F. Russo, nous venons de montrer une formule d'Itô avec une fonction <span class= "MATH"><i>f</i></span> de classe <span class= "MATH"><i>C</i><sup>4</sup></span> et le mouvement brownien fractionnaire d'indice de Hurst  <span class="MATH"><i>H</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img159.png" alt="$ \geq$" /> 1/4</span>. Ce processus stochastique est moins régulier que ceux considérés par Errami et Russo car il n'admet pas de crochet "fort" d'ordre trois. En revanche un crochet faible d'ordre trois et une variation d'ordre quatre peuvent être définis.</p> <p>Ce travail est en cours de rédaction.</p> <h3><a name="SECTION00055300000000000000" id= "SECTION00055300000000000000">Amplitude de certaines chaines de Markov</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Pierre Vallois.<br /> <br /> <p>Avec C. Tapiéro, nous avons essayé de modéliser la volatilité des marchés par leur amplitude. Plus précisément, lorsque le processus des prix est une marche aléatoire à sauts unités (<span class="MATH"><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img160.png" alt= "$ \pm$" />1</span>), nous avons étudié les instants successifs où l'amplitude prend les valeurs <span class= "MATH">1, 2,..., <i>k</i></span>.</p> <p>Avec H. Ganidis<a name="tex2html7" href= "footnode_mn.html#foot1539" target="footer" id= "tex2html7"><sup><img align="bottom" border="1" alt="[*]" src="../icons/foot_motif.png" /></sup></a> nous avons étudié les propriétés trajectorielles d'une famille chaînes de Markov appelées ultra-sphériques. Chaque processus est à valeurs dans  <span class="MATH">{0, 1, 2,...}</span> et la dynamique est au plus proche voisin. Convenablement renormalisée, chaque chaîne converge vers un processus de Bessel. Ceci permet d'approximer un processus de Bessel de dimension positive par une certaine chaîne ultrasphérique. Nous avons particulièrement étudié les temps de passage en un niveau donné (i.e. calcul de la transformée de Laplace de ce temps d'arrêt). Ceci nous a permis, dans certains cas, de calculer les deux premiers moments de ces variables. Nous avons pu aussi en déduire des résultats sur l'amplitude et, en particulier, sur le premier instant où l'amplitude atteint une valeur fixée.</p> <p>Ce travail est en cours de rédaction.</p> </body>