Projet : ONDES - ondes

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00064000000000000000" id= "SECTION00064000000000000000">Éléments finis mixtes d'ordre élevé en maillage hexaédrique pour les ondes acoustiques et élastiques</a></h2> <a name="ONDES_resultats_module-17" id= "ONDES_resultats_module-17"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Gary Cohen, Sandrine Fauqueux.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>éléments finis mixtes quadrilatéraux, équation de l'élastodynamique, équation de l'acoustique, condensation de masse, milieu anisotrope, couches absorbantes .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Construction, étude et implémentation d'éléments finis mixtes d'ordre élevé avec condensation de masse pour les équations de l'élastodynamique.</i> </div> <p>Ce travail fait suite au stage de DEA de S. Fauqueux sur les éléments finis mixtes d'ordre élevé avec condensation de masse pour l'acoustique. Il fait l'objet d'un contrat entre l'IFP et l'INRIA et constitue le sujet de thèse de S. Fauqueux, sous contrat CIFRE avec l'IFP.</p> <p>Une nouvelle formulation des équations de l'élastodynamique 2D sous forme  <span class="MATH"><i>H</i><img width="8" height="25" align= "middle" border="0" src="img12.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{ div }\right.$" /><i>div</i><img width="9" height="25" align="middle" border="0" src="img13.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{ div }\right)$" />-<i>L</i><sup>2</sup></span> a été mise en place. Cette formulation permet d'utiliser la méthode des éléments finis mixtes  <span class= "MATH"><i>H</i><sup>1</sup>-<i>L</i><sup>2</sup></span> avec condensation de masse étudiée en acoustique.</p> <p>Nous avons tout d'abord montré que cette nouvelle formulation permet bien d'obtenir la conservation de l'énergie. Une étude de stabilité nous a donné la condition suffisante suivante, pour des éléments <span class= "MATH"><i>Q</i><sub>k</sub></span> en élastodynamique : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="29" height="29" align="middle" border="0" src= "img14.png" alt= "$\displaystyle \lambda_{C}^{min}$" /><img width="17" height="41" align="middle" border="0" src="img15.png" alt= "$\displaystyle {\frac{\delta t}{h}}$" />  <img width= "12" height="22" align="middle" border="0" src="img16.png" alt="$\displaystyle \leq$" />  <i>cfl</i><sub>acous</sub> </div>où  <span class="MATH"><img width="30" height="28" align="middle" border="0" src="img17.png" alt= "$ \lambda_{C}^{min}$" /></span> est la plus petite valeur propre non nulle du tenseur d'élasticité vu comme matrice  <span class="MATH">4 <tt>x</tt> 4</span> et  <span class="MATH"><i>cfl</i><sub>acous</sub></span> la CFL en acoustique, pour les mêmes éléments finis. Cette étude nous a permis de généraliser un résultat intéressant en acoustique : les valeurs et vecteurs propres de la matrice obtenue par l'analyse de dispersion en dimension <span class="MATH"><i>d</i></span> se déduisent de celles obtenues en 1D. Ceci nous permet d'étudier facilement la CFL ou la dispersion en dimension 2 ou 3. Nous avons aussi étudié l'erreur de réflexion-transmission générée par la méthode numérique utilisée, en acoustique 1D. Elle montre que l'utilisation de maillages non adaptés aux différentes couches de vitesse du matériau pénalise fortement la méthode. Enfin, nous avons appliqué la technique des PML aux équations de l'élastodynamique, d'après une formulation mise en place par Zhao-Cangellaris. Une étude effectuée en collaboration avec P. Joly et E. Bécache montre des problèmes de stabilité des PML pour certains matériaux anisotropes. <p>La méthode a été implémentée en 2D, pour différentes valeurs de <span class="MATH"><i>k</i></span>.</p> <p>Nous avons enfin réalisé un film sur la propagation d'une onde acoustique dans un milieu géophysique ``réaliste'' avec topographie, suite au contrat de 4 mois entre l'IFP et l'INRIA annoncé dans le rapport d'activité de l'année 1999.</p> </body>