Projet : ONDES - ondes

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00065000000000000000" id= "SECTION00065000000000000000">Modélisation numérique de la propagation d'ondes en milieu élastique fissuré avec condition de contact unilatéral</a></h2>  <a name="ONDES_resultats_module-19" id= "ONDES_resultats_module-19"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Eliane Bécache, Jean-Charles Gilbert, Patrick Joly, Gilles Scarella.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>élément fini mixte, élastodynamique, fissure, contact unilatéral .</i></p> <p><a name="elast" id="elast"></a>Ce travail fait suite aux résultats que nous avons obtenus dans le cadre de la thèse de Chrysoula Tsogka sur le contrÔle non destructif. Il s´agit d´un problème qui nous a été posé par EDF et qui consiste à détecter des fissures dans des milieux élastiques hétérogènes et anisotropes.</p> <p>Jusqu'à présent, nous avions modélisé la condition aux limites posée sur la fissure par une condition de surface libre. La nouveauté dans le travail que nous démarrons actuellement et qui fait l´objet d´une nouvelle thèse (Gilles Scarella, en collaboration avec EDF et le Laboratoire de Mécanique et d´Acoustique de Marseille) est la prise en compte, dans cette condition aux limites, de possibilité de contact entre les deux lèvres de la fissure. Cette condition aux limites de type contact unilatéral est plus réaliste d´un point de vue physique et introduit des difficultés nouvelles sur le plan mathématique dans la mesure où elle conduit à la résolution d´inéquations variationnelles.</p> <p>Notre but est d´étendre la méthode des domaines fictifs à ce nouveau problème afin de conserver tous les avantages de ce type d´approche mis en évidence par les travaux de Chrysoula Tsogka. Rappelons que cette méthode consiste à prolonger la solution dans un domaine de géométrie simple (rectangle en 2D) et à prendre en compte la condition aux limites sur la fissure de façon faible en introduisant un multiplicateur de Lagrange <span class="MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img18.png" alt= "$ \lambda$" /></span> défini sur la fissure. On a alors à chercher  <span class="MATH">(<img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img19.png" alt="$ \sigma$" />, <i>u</i>,<img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img18.png" alt="$ \lambda$" />)</span>, où on note toujours <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img19.png" alt= "$ \sigma$" /></span> et <span class="MATH"><i>u</i></span> les solutions dans le domaine rectangulaire. Cette méthode présente donc l'avantage de poser le problème dans un domaine simple dont le maillage est indépendant de celui de la fissure et permet l´utilisation de méthodes numériques rapides.</p> <p>Néanmoins, l´extension n´est pas si directe: l´introduction de conditions de contact unilatéral sans frottement (ou conditions de Signorini) oblige à utiliser une formulation en déplacements- contraintes. De plus, dans le cas non linéaire, pour la discrétisation en temps, nous ne pouvons pas employer un schéma centré car il conduirait à un schéma inconditionnellement instable. C´est pourquoi nous proposons un schéma décentré stable. Ce schéma est explicite pour les inconnues de volume mais implicite pour le multiplicateur de Lagrange. De plus, nous sommes amenés à résoudre un problème d´optimisation sur le multiplicateur avec contraintes de borne à chaque pas de temps.</p> <p>En 1D, résoudre le problème de minimisation d´une fonctionnelle quadratique sous contrainte de borne est très simple. Une comparaison avec une solution analytique a donné des résultats très satisfaisants quant à la validation de la méthode.</p> <p>En 2D, cette méthode conduit à la résolution d´un problème d´optimisation de type programmation quadratique avec contraintes de borne sur le multiplicateur. Ce point est développé en collaboration avec Jean-Charles Gilbert (projet ESTIME).</p> </body>