Projet : ONDES - ondes

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00069000000000000000">Raffinement de maillage pour une méthode de résolution des équations de Maxwell et de l'équation des ondes</a></h2>  <a name="ONDES_resultats_module-41"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Francis Collino, Thierry Fouquet, Patrick Joly.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>raffinement de maillage, FDTD, stabilité, précision .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Étude théorique et numérique du raffinement de maillage en différences finies pour la résolution de l'équation des ondes et des équations de Maxwell.</i> </div> <p>Rappelons que ce thème a été développé dans le cadre d'un contrat avec le Centre d'Etudes de Gramat, contrat qui s'est achevé en cours d'année. Il constituait également le sujet de thèse de Thierry Fouquet qui a soutenu en Juin 2000. Le résultat majeur de cette thèse est la conception d'une méthode de raffinement de maillage espace-temps avec pour originalité majeure l'utilisation d'un pas de temps local permettant d'assurer un CFL quasi-constant dans toute la grille de calcul. A notre connaissance, il s'agit de la première méthode de ce genre dont la stabilité est prouvée et garantie sous la condition CFL usuelle. Cette méthode peut être formulée dans un cadre variationnel abstrait ce qui la rend utilisable tant en maillage structuré (incluant ainsi le schéma de Yee - objectif du contrat avec Gramat) qu'en maillage non structuré (modulo l'utilisation d'éléments finis mixtes). Elle se rapproche en cela de la méthode dite des éléments joints et s'en distingue essentiellement au niveau de la discrétisation en temps : le point clé de notre approche consiste à gérer des pas de temps locaux via des conditions de transmission discrètes entres grilles qui assurent une conservation d'énergie discrète et par suite la stabilité de la méthode.<br /></p> <p>Le code de calcul ayant été validé l'an dernier, nous avons porté nos efforts sur une étude théorique fine des propriétés de la méthode dans le cas monodimensionnel:</p> <dl compact="compact"> <dt><span class="MATH"><img width="9" height="10" align= "bottom" border="0" src="img21.png" alt= "$ \bullet$" /></span></dt> <dd> Analyse d'instabilités pour des schémas de raccord par interpolation temporelle.<br /> Nous avions mis en évidence certains phénomènes d'instabilité avec ce type de schéma lorsque l'on ne raffinait qu'une bande du domaine de calcul et si on ne choisissait pas un CFL suffisamment petit. Nous avons affiné cette analyse en montrant que: <ul> <li>L'instabilité ne peut se produire que si le CFL est compris entre  <span class="MATH"><img width="19" height="29" align= "middle" border="0" src="img22.png" alt= "$ \sqrt{2}$" />/2</span> et 1 dans le cas d'un raffinement 1-2, et entre  <span class="MATH">sin(<img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img23.png" alt= "$ \pi$" />/2<i>n</i>)</span> et 1 dans le cas d'un raffinement 1-n.</li> <li>Lorsque le CFL est trop grand (  <span class="MATH">sin(<img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img23.png" alt= "$ \pi$" />/2<i>n</i>) < <i>CFL</i> < 1</span>), on observe un phénomène d'explosion exponentielle en temps. Toutefois, il convient de distinguer 2 cas. Si la bande raffinée contient un nombre fixe de mailles (indépendant de <span class="MATH"><i>h</i></span>), le taux d'explosion tend vers l'infini lorsque <span class="MATH"><i>h</i></span> tend vers 0 : nous dirons qu'il y a <i>instabilité forte</i>. Lorsque la bande a une taille physique fixée, le taux d'explosion reste borné : on a un phénomène d' <i>instabilité faible</i>.</li> </ul> </dd> <dt><span class="MATH"><img width="9" height="10" align= "bottom" border="0" src="img21.png" alt= "$ \bullet$" /></span></dt> <dd> Analyse fine des phénomènes numériques à l'interface grille fine - grille grossière pour la méthode stable. On s'intéresse typiquement à ce qui arrive à une onde incidente se propageant dans la grille grossière au moment où elle rencontre l'interface grille fine-grille grossière. Dans le cas d'un raffinement 1-2, on montre qu'une onde de fréquence <span class="MATH"><img width= "11" height="11" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \omega$" /></span> et d'amplitude 1 donne naissance à divers phénomènes parasites: une onde réfléchie de même fréquence d'amplitude <span class= "MATH"><i>R</i></span>, une onde transmise d'amplitude <span class="MATH"><i>T</i></span> mais aussi, à cause du phénomène d'aliasing, une deuxième onde transmise de fréquence  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \omega$" /> + <img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img23.png" alt="$ \pi$" />/<img width="13" height= "11" align="bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span>, <span class= "MATH"><img width="13" height="11" align="bottom" border= "0" src="img24.png" alt="$ \Delta$" /><i>t</i></span> désignant le pas de temps dans la grille fine, et d'amplitude <span class="MATH"><i>T'</i></span>. <span class="MATH"><i>R</i></span>, <span class= "MATH"><i>T</i></span> et <span class= "MATH"><i>T'</i></span> sont des fonctions de  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img4.png" alt= "$ \omega$" /><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span> (l'inverse du nombre de points par période) et du CFL  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img25.png" alt="$ \alpha$" /> = <i>c</i><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i>/<i>h</i></span>. <ul> <li>On montre que <span class="MATH"><i>R</i></span>, <span class="MATH"><i>T</i></span> approchent respectivement 0 et 1 à l'ordre 2 en  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img4.png" alt= "$ \omega$" /><img width="13" height="11" align= "bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span> alors que <span class= "MATH"><i>T'</i></span> ne tend vers 0 que linéairement. Néanmoins, le schéma est globalement d'ordre 2 au moins tant que <span class= "MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img25.png" alt="$ \alpha$" /></span> reste strictement inférieur à sa valeur maximale, 1 en l'occurence ! Ceci est dû à l'observation que l'onde transmise de fréquence  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \omega$" /> + <img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img23.png" alt="$ \pi$" />/<img width="13" height= "11" align="bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span> devient évanescente dès que la fréquence de l'onde incidente est (modulo  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img23.png" alt= "$ \pi$" />/<img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span>) inférieure à  <span class="MATH"><i>C</i>(<img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" />)/<img width="13" height="11" align= "bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span> où <span class= "MATH"><i>C</i>(<img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" />)</span> est une constante positive. De plus la profondeur de pénétration de cette onde dans la grille grossière est en <span class= "MATH"><i>O</i>(<i>h</i>)</span>. Il en ressort que l'erreur due à cette onde est exponentiellement petite dès qu'on est pas pile sur l'interface...</li> <li>Lorsque <span class="MATH"><img width="11" height= "11" align="bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" /></span> se rapproche de 1, l'onde transmise parasite de fréquence  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \omega$" /> + <img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img23.png" alt="$ \pi$" />/<img width="13" height= "11" align="bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$ \Delta$" /><i>t</i></span> devient gênante, d'une part parce que <span class="MATH"><i>T'</i></span> augmente mais surtout parce que le domaine des fréquences qui donnent des ondes transmises évanescentes diminue: il est même vide lorsque  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img25.png" alt="$ \alpha$" /> = 1</span>. Nous illustrons ce phénomène sur la figure <a href="resul_module-41_Toc.html#apparition">4</a>. Heureusement, dès qu'on diminue un tant soit peu <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" /></span>, ce domaine augmente rapidement, et l'influence de l'onde parasite haute fréquence devient alors négligeable (figure <a href= "resul_module-41_Toc.html#disparition">5</a>).</li> </ul> </dd> </dl> <div align="center"> <a name="apparition"></a><a name="1226"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 4:</strong> Apparition de l'onde parasite pour <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img25.png" alt="$ \alpha$" /> = 1</span> </caption> <tr> <td> <table cols="3"> <col align="center" /> <col align="center" /> <col align="center" /> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="169" height="133" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt= "\includegraphics [width=.32\linewidth]{u000.eps}" /></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="169" height="133" align="bottom" border="0" src="img27.png" alt= "\includegraphics [width=.32\linewidth]{u020.eps}" /></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="169" height="133" align="bottom" border="0" src="img28.png" alt= "\includegraphics [width=.32\linewidth]{u040.eps}" /></td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><span class="MATH"><i>t</i> = 0<i>s</i></span></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><span class="MATH"><i>t</i> = 20<i>s</i></span></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><span class="MATH"><i>t</i> = 40<i>s</i></span></td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="169" height="133" align="bottom" border="0" src="img29.png" alt= "\includegraphics [width=.32\linewidth]{u060.eps}" /></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="169" height="133" align="bottom" border="0" src="img30.png" alt= "\includegraphics [width=.32\linewidth]{u080.eps}" /></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="169" height="133" align="bottom" border="0" src="img31.png" alt= "\includegraphics [width=.32\linewidth]{u100.eps}" /></td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><span class="MATH"><i>t</i> = 60<i>s</i></span></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><span class="MATH"><i>t</i> = 80<i>s</i></span></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"><span class="MATH"><i>t</i> = 100<i>s</i></span></td> </tr> </table> </td> </tr> </table> </div> <div align="center"> <a name="disparition"></a><a name="1235"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 5:</strong> Effet de la diminution de <span class="MATH"><img width="11" height="11" align= "bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" /></span> (à <span class="MATH"><i>t</i> = 40<i>s</i></span>) </caption> <tr> <td> <table cols="2"> <col align="center" /> <col align="center" /> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="253" height="198" align="bottom" border="0" src="img32.png" alt= "\includegraphics [width=.48\linewidth]{u99040.eps}" /></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <img width="253" height="198" align="bottom" border="0" src="img33.png" alt= "\includegraphics [width=.48\linewidth]{u95040.eps}" /></td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" /> = 0.99</span></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap= "nowrap"> <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \alpha$" /> = 0.95</span></td> </tr> </table> </td> </tr> </table> </div> <p>Il reste sur ce problème des questions théoriques ouvertes intéressantes que nous aborderons l'an prochain. En particulier, la question de la convergence de la méthode en dimension 3, intimement liée au choix de l'espace d'approximation pour le multiplicateur de Lagrange introduit sur l'interface grille fine-grille grossière (où plus exactement la compatibilité de ce choix avec celui effectué pour le champ électromagnétique), reste en suspens.</p> </body>