Projet : PRISME - prisme

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html474" href= "resul_geoalg_mn.html#SECTION00062100000000000000" target= "main" id="tex2html474"><small>Compression de structures géométriques</small></a></li> <li><a name="tex2html475" href= "resul_geoalg_mn.html#SECTION00062200000000000000" target= "main" id="tex2html475"><small>Coordonnées naturelles de points sur une surface</small></a></li> <li><a name="tex2html476" href= "resul_geoalg_mn.html#SECTION00062300000000000000" target= "main" id= "tex2html476"><small>Randomisation</small></a></li> <li><a name="tex2html477" href= "resul_geoalg_mn.html#SECTION00062400000000000000" target= "main" id="tex2html477"><small>Triangulations bicolores</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00062000000000000000" id= "SECTION00062000000000000000">Algorithmes géométriques</a></h2> <a name="PRISME_resultats_geoalg" id= "PRISME_resultats_geoalg"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>géométrie algorithmique, triangulation de Delaunay, diagramme de Voronoï .</i></p> <h3><a name="SECTION00062100000000000000" id= "SECTION00062100000000000000"></a> <a name= "00:compression"></a><br /> Compression de structures géométriques</h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Olivier Devillers, Pierre-Marie Gandoin.<br /> <br /> <blockquote> Une partie de ce travail est effectuée en collaboration avec Regina Estowski (U. New York, Stony Brook), Ferran Hurtado, Vera Sacristan (UPC, Barcelone) et Pedro Ramos (U. de Alcala, Madrid). </blockquote> <p>La compression de structures géométriques est un domaine de recherche en plein essor, situé entre la géométrie algorithmique et la compression de données standard. Le développement rapide des applications de la synthèse d'image rend nécessaires la manipulation et l'échange de données géométriques de manière rapide et économique. En particulier, les nombreuses possibilités offertes par le World Wide Web en matière de réalité virtuelle sont conditionnées par un accès rapide aux données. Cela implique -- principalement lorsque la bande passante est faible -- d'organiser et de compresser les données géométriques de manière optimale. Le point de vue que nous avons choisi d'adopter dans ce travail est diamétralement opposé à la tendance générale qui semble s'être imposée depuis 1995 dans le domaine, au fil des nombreux articles abordant le problème du codage efficace de maillages (scènes géométriques en 2 ou 3 dimensions composées de polygones). Dans nos travaux, nous partons du principe que la topologie d'un objet géométrique (c'est-à-dire les arêtes des polygones qui le composent) peut être très souvent déduite de sa géométrie (c'est-à-dire des positions de ses sommets). Contrairement aux autres méthodes, la priorité est donc donnée à la compression de la partie géométrique de l'objet. Cette opération est réalisée de manière progressive et fournit des taux de compression compétitifs par rapport aux méthodes existantes [<a href= "bibliographie_Toc.html#prisme-3910t" target= "contents">28</a>]. Nous avons également développé un codeur de connectivité permettant de coder efficacement l'intégralité de l'information topologique d'un modèle, ou d'en coder un sous-ensemble uniquement en vue d'améliorer les performances d'un éventuel algorithme de reconstruction. Ce codeur topologique repose sur le même principe que le codeur de géométrie et peut donc être appliqué simultanément, et toujours de manière progressive et interactive. La figure <a href="resul_geoalg_Toc.html#fig-compression">7</a> montre à gauche un modèle géométrique sur lequel la compression sans perte nous permet de réduire la taille du fichier à 40% du modèle original, une compression avec perte occupant seulement 3% de la taille du modèle initiale est affichée à droite. En outre, une étude théorique a été menée dans le cadre de notre collaboration avec l'UPC à Barcelone, pour déterminer, dans le cas particulier d'une reconstruction topologique par triangulation de Delaunay contrainte, l'ensemble minimal d'arêtes à coder pour garantir une reconstruction sans perte de l'objet original.</p> <div align="center"> <a name="fig-compression" id="fig-compression"></a><a name= "1003"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 7:</strong> Modèle compressé sans perte à 40% et avec perte à 3%. </caption> <tr> <td> <div align="center">  <img width="152" height="193" align="bottom" border="0" src="img15.png" alt= "\includegraphics [height=7.5cm]{fig-prisme/compression24.ps}" />  <img width="152" height="191" align="bottom" border="0" src="img16.png" alt= "\includegraphics [height=7.5cm]{fig-prisme/compression7.ps}" /> </div> </td> </tr> </table> </div> <h3><a name="SECTION00062200000000000000" id= "SECTION00062200000000000000">Coordonnées naturelles de points sur une surface</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Jean-Daniel Boissonnat, Frédéric Cazals.<br /> <br /> <p>Les coordonnées naturelles ont été introduites par Sibson pour interpoler des fonctions de plusieurs variables à partir de données non structurées. On considère dans ce travail le cas où les points de données appartiennent à une surface  <span class="MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img6.png" alt="$ \mathcal {S}$" /></span>, c'est-à-dire une variété de dimension <span class= "MATH"><i>d</i> - 1</span> de  <span class="MATH"><i>I</i><i>R</i><sup>d</sup></span>, lisse et sans bord. On montre que lorsque la densité de l'échantillonnage augmente, les coordonnées naturelles d'un point de la surface tendent à se comporter comme un système de coordonnées locales sur la surface. Ce résultat ne suppose aucune connaissance sur l'ordre ou la connectivité des points, ni d'information sur la topologie de la surface. Il est basé sur le fait qu'un sous-ensemble des sommets du diagramme de Voronoï des points de données tend vers le squelette de  <span class="MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img6.png" alt="$ \mathcal {S}$" /></span> lorsque la densité d'échantillonnage augmente.</p> <h3><a name="SECTION00062300000000000000" id= "SECTION00062300000000000000"></a> <a name= "00:randomisation"></a><br /> Randomisation</h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Olivier Devillers, Philippe Guigue, Monique Teillaud.<br /> <br /> <blockquote> Une part de ce travail est effectuée en collaboration avec Ferran Hurtado, Mercé Mora et Vera Sacristan (UPC, Barcelone). </blockquote> <p>Nous continuons à nous intéresser à la randomisation (voir <a href="fonde_geoalgo_Toc.html#did:algor">3.1.2</a>) avec deux résultats cette année.</p> <p>Tout d'abord un algorithme randomisé incrémental nécessite en général d'insérer les données dans un ordre aléatoire. Si les données ne sont pas connues à l'avance, on doit choisir entre attendre d'avoir toutes les données pour pouvoir les mélanger et espérer que les données arrivent dans un ordre suffisamment aléatoire. Nous proposons et étudions l'alternative du tampon mélangeur, qui permet de mélanger <em>localement</em> les données et de démarrer l'algorithme sans avoir toutes les données. On montre typiquement que si la taille du tampon est <span class="MATH"><i>k</i></span> et le nombre de données <span class="MATH"><i>n</i></span>, un problème qui a une complexité randomisée de  <span class="MATH"><i>O</i>(<i>n</i>log <i>n</i>)</span> et une complexité dans le cas le pire de <span class= "MATH"><i>O</i>(<i>n</i><sup>2</sup>)</span> sera traité en  <span class="MATH"><i>O</i>(<img width="38" height="33" align="middle" border="0" src="img17.png" alt= "$ {\frac{n^2 \log k}{k}}$" />)</span> [<a href= "bibliographie_Toc.html#prisme-3988t" target= "contents">29</a>].</p> <p>Calculer la triangulation de Delaunay de <span class= "MATH"><i>n</i></span> points nécessite en général un temps  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \Omega$" />(<i>n</i>log <i>n</i>)</span>, mais, sous certaines hypothèses, par exemple si les points sont les sommets d'un polygone convexe, ce temps peut être ramené à <span class= "MATH"><i>O</i>(<i>n</i>)</span>. Nous avons démontré que dans le cas où les points forment un sous-ensemble d'un ensemble de points dont on connait la triangulation de Delaunay, on pouvait trianguler le sous ensemble en temps <span class="MATH"><i>O</i>(<i>n</i>)</span>.</p> <h3><a name="SECTION00062400000000000000" id= "SECTION00062400000000000000"></a> <a name= "00:bicolore"></a><br /> Triangulations bicolores</h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Olivier Devillers.<br /> <br /> <blockquote> Travail effectué en collaboration avec Ferran Hurtado et Carlos Seara (UPC, Barcelone).<br /> </blockquote>Étant donné un ensemble de points du plan, chaque point étant colorié soit en rouge soit en bleu, on s'intéresse aux triangulations des points ayant beaucoup d'arêtes ou de triangles reliant des points de la même couleur. Un tel problème à des applications par exemple en segmentation d'images ou en <em>clustering</em>. <p>Nous avons démontré que si on a <span class= "MATH"><i>n</i></span> points rouges dont <span class= "MATH"><i>n</i><sub>CH</sub></span> sur l'enveloppe convexe et <span class="MATH"><i>k</i></span> points bleus dont <span class="MATH"><i>k</i><sub>CH</sub></span> sur l'enveloppe convexe, toute triangulation a au moins <span class="MATH"><i>n</i> + <i>n</i><sub>CH</sub></span> arêtes rouges et <span class="MATH"><i>k</i> - 1</span> arêtes bleues et ces bornes sont atteintes dans certains exemples.</p> </body>