projet : SIGMA2 - sigma2

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li> <ul> <li><a name="tex2html175" href= "fonde_identification_mn.html#SECTION00031010000000000000" target="main" id="tex2html175"><small>Fonctions d'estimation</small></a></li> <li><a name="tex2html176" href= "fonde_identification_mn.html#SECTION00031020000000000000" target="main" id="tex2html176"><small>Approximation stochastique</small></a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Identification et approximation stochastique</a></h2> <a name="SIGMA2_fondements_identification" id= "SIGMA2_fondements_identification"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>identification, fonction d'estimation, système adaptatif, approximation stochastique, poursuite .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>On se donne une suite d'observations  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>n</sub>, <sup>...</sup> )</span> de loi paramétrée par  <span class="MATH"><img width="8" height="12" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src= "img2.png" alt="$ \in$" /> <img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt= "$ \Theta$" /></span>. Le problème de l'identification paramétrique consiste à retrouver la vraie valeur  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> du paramètre, à partir de la donnée d'une suite d'observations  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>n</sub>, <sup>...</sup> )</span> gouvernée par ce paramètre.</i> <p>L'identification peut être «hors-ligne», ou «non récursive». Dans ce cas, on se donne un échantillon  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>N</sub>)</span> de longueur finie <span class= "MATH"><i>N</i></span>, et on cherche à construire un estimateur  <span class="MATH"><img width="18" height="31" align= "middle" border="0" src="img5.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N}^{}$" /></span>, c'est-à-dire une fonction de l'échantillon  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>N</sub>)</span> à valeurs dans <span class= "MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border= "0" src="img3.png" alt="$ \Theta$" /></span>. Les questions qui se posent sont alors : lorsque <span class= "MATH"><i>N</i></span> tend vers l'infini, 1)  <span class="MATH"><img width="18" height="31" align= "middle" border="0" src="img5.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N}^{}$" /></span> converge-t-il vers la «vraie» valeur  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> du paramètre ? 2) si oui, à quelle vitesse ? existe-t-il une borne optimale pour cette vitesse, borne qui dépend de la vraie valeur (inconnue)  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" /></span>, et qui permet de parler de l'optimalité d'un estimateur ? sait-on construire des estimateurs optimaux ?</p> <p>L'identification peut être «en-ligne», ou «récursive». Dans ce cas, on lit à la volée l'échantillon  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>n</sub>, <sup>...</sup> )</span>, et on construit récursivement une suite d'estimateurs  <span class="MATH"><img width="16" height="31" align= "middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{n}^{}$" /></span>. Cette suite est en général calculée incrémentalement, ce qui signifie que  <span class="MATH"><img width="28" height="31" align= "middle" border="0" src="img7.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{n+1}^{}$" /></span> est calculé en fonction de  <span class="MATH"><img width="16" height="31" align= "middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{n}^{}$" /></span> et des nouvelles données reçues. On parle alors souvent d'approximation stochastique, ou de système adaptatif. Outre les questions précédentes, on se pose alors le problème de la «poursuite» : supposons que la «vraie» valeur  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align= "middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span>, au lieu d'être fixe, soit «lentement» variable, est-il possible que la suite d'estimateurs  <span class="MATH"><img width="16" height="31" align= "middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{n}^{}$" /></span> poursuive les variations de  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align= "middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span> ?</p> <p>Nous avons, au cours des dix dernières années, apporté diverses contributions sur l'ensemble de ces questions, et tout récemment sur le problème de la poursuite.</p> </div> <h4><a name="SECTION00031010000000000000" id= "SECTION00031010000000000000">Fonctions d'estimation</a></h4> <p>On suppose donnés un modèle paramétrique  <span class="MATH">{<b>P</b><sub><img width="7" height="11" align="bottom" border="0" src="img9.png" alt= "$\scriptstyle \theta$" /></sub> , <img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$ \in$" /> <img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt= "$ \Theta$" />}</span> décrivant le système à identifier, où la loi des observations  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>N</sub>)</span> est caractérisée par le paramètre  <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \in$" /> <img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt="$ \Theta$" /></span>, et une «fonction d'estimation» de la forme </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>U</i><sub>N</sub>(<img width="9" height="24" align= "middle" border="0" src="img10.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />) = <img width="17" height="40" align="middle" border="0" src="img11.png" alt= "$\displaystyle {\frac{1}{N}}$" /> <img width="22" height="54" align="middle" border="0" src="img12.png" alt= "$\displaystyle \sum_{n=0}^{N}$" /><i>H</i>(<img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img10.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />, <i>Z</i><sub>n</sub>) , </div>telle que  <span class="MATH"><b>E</b><sub><img width="7" height="11" align="bottom" border="0" src="img9.png" alt= "$\scriptstyle \theta$" /></sub>[<i>U</i><sub>N</sub>(<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />)] = 0</span> pour tout  <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \in$" /> <img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt="$ \Theta$" /></span>. Dans un grand nombre de situations, <span class= "MATH"><i>H</i></span> est le gradient d'une fonction à minimiser (erreur quadratique de prédiction, log-vraisemblance (au signe près), etc.). Pour identifier le modèle au vu des observations  <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>0</sub>, <sup>...</sup> , <i>Z</i><sub>N</sub>)</span>, un estimateur du paramètre inconnu sera alors [<a href= "bibliographie_Toc.html#mcleish-book88" target= "contents">MS88</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#heyde-book97" target= "contents">Hey97</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#delyon-pi1104" target= "contents">DJB97</a>]  <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="18" height="31" align="middle" border="0" src= "img13.png" alt= "$\displaystyle \widehat{\theta}_{N}^{}$" /> = arg{<img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img10.png" alt="$\displaystyle \theta$" /> <img width= "12" height="22" align="middle" border="0" src="img14.png" alt="$\displaystyle \in$" /> <img width="12" height="23" align="middle" border="0" src="img15.png" alt= "$\displaystyle \Theta$" />  :  <i>U</i><sub>N</sub>(<img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img10.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />) = 0} . </div>Si  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> est la «vraie» valeur du paramètre, et si  <span class="MATH"><b>E</b><sub><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img16.png" alt= "$\scriptstyle \theta^{\ast}$" /></sub>[<i>U</i><sub>N</sub>(<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />)] = 0</span> si et seulement si  <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /> = <img width= "15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> (avec  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> fixé), alors  <span class="MATH"><img width="18" height="31" align="middle" border="0" src="img5.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N}^{}$" /></span> converge vers  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" /></span>. Par le théorème-limite central, le vecteur  <span class="MATH"><i>U</i><sub>N</sub>(<img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" />)</span> est asymptotiquement gaussien centré, de matrice de covariance <span class= "MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img17.png" alt="$ \Sigma$" /></span> que l'on sait calculer ou estimer. Si de plus la matrice  <span class="MATH"><i>M</i><sub>N</sub> = - <b>E</b><sub><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img16.png" alt= "$\scriptstyle \theta^{\ast}$" /></sub>[<i>U'</i><sub>N</sub>(<img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" />)]</span> est inversible, alors en utilisant un développement de Taylor et la contrainte  <span class="MATH"><i>U</i><sub>N</sub>(<img width="18" height="31" align="middle" border="0" src="img5.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N}^{}$" />) = 0</span>, on obtient la normalité asymptotique de l'estimateur, i.e.  <span class="MATH"><img width="26" height="30" align="middle" border="0" src="img18.png" alt= "$ \sqrt{N}$" /> (<img width="18" height="31" align= "middle" border="0" src="img5.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N}^{}$" /> - <img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" />) <img width="12" height="10" align= "bottom" border="0" src="img19.png" alt="$ \approx$" /> <i>M</i><sub>N</sub><sup>-1</sup> <img width="26" height="30" align="middle" border="0" src="img18.png" alt= "$ \sqrt{N}$" /> <i>U</i><sub>N</sub>(<img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" />)</span>. <p>Dans de nombreuses applications, une approche de ce type est insuffisante, et doit être améliorée dans les directions suivantes :</p> <ul> <li>récursivité : possibilité de calculer  <span class="MATH"><img width="31" height="31" align= "middle" border="0" src="img20.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N+1}^{}$" /></span> simplement à partir de  <span class="MATH"><img width="18" height="31" align= "middle" border="0" src="img5.png" alt= "$ \widehat{\theta}_{N}^{}$" /></span> -- ceci se fait au prix de certaines approximations dont le coût doit être d'un ordre de grandeur inférieur à l'erreur d'estimation  <span class="MATH">1/<img width="26" height="30" align= "middle" border="0" src="img18.png" alt= "$ \sqrt{N}$" /></span>,</li> <li>adaptativité : il arrive que le vrai paramètre <span class="MATH"><img width="8" height="12" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /></span> varie au cours du temps (par exemple le transfert d'un canal radio-mobile) -- un bon algorithme doit être capable de «poursuivre» cette valeur.</li> </ul>La théorie de l'approximation stochastique permet d'aborder de manière adéquate les problèmes de récursivité et d'adaptativité en identification, dans un cadre statistique. <h4><a name="SECTION00031020000000000000" id= "SECTION00031020000000000000">Approximation stochastique</a></h4> <p>L'usage des algorithmes stochastiques est très répandu, et recouvre des domaines tels que la commande adaptative, les systèmes de transmission, le filtrage adaptatif, certains algorithmes d'apprentissage en reconnaissance des formes, etc. De nombreux exemples se trouvent dans [<a href= "bibliographie_Toc.html#saridis-ac74" target= "contents">Sar74</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#benveniste-book90" target= "contents">BMP90</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#ljung-book83" target= "contents">LS83</a>].</p> <p>Le but de ces algorithmes est l'estimation récursive d'un paramètre inconnu et invariant dans le temps (ou lentement variable) traditionnellement noté <span class= "MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span>. Dans le cadre présenté ci-dessus, où <span class="MATH"><i>H</i></span> est le gradient d'une fonction à minimiser, la structure générale de l'algorithme sera </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="15" height="24" align="middle" border="0" src= "img21.png" alt="$\displaystyle \theta_{n}^{}$" /> = <img width="29" height="24" align="middle" border="0" src= "img22.png" alt="$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" /> - <img width="15" height="22" align="middle" border="0" src= "img23.png" alt= "$\displaystyle \gamma_{n}^{}$" /> <i>H</i>(<img width="29" height="24" align="middle" border="0" src="img22.png" alt= "$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" />, <i>Z</i><sub>n</sub>) </div>où <span class="MATH"><img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img24.png" alt= "$ \gamma_{n}^{}$" /></span> est une suite décroissante, typiquement <span class="MATH">1/<i>n</i></span> ou une constante, et <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img25.png" alt= "$ \theta_{n}^{}$" /></span> est l'estimée de  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> au temps <span class="MATH"><i>n</i></span>. L'étude théorique de ces algorithmes est généralement faite dans un cadre markovien assez large [<a href= "bibliographie_Toc.html#benveniste-book90" target= "contents">BMP90</a>] donnant une forme explicite à la dépendance en <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /></span> de la loi du processus <span class= "MATH"><i>Z</i><sub>n</sub></span>. <p>Si l'on s'intéresse aux gains en <span class= "MATH">1/<i>n</i></span>, il est acquis [<a href= "bibliographie_Toc.html#hall-book80" target= "contents">HH80</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#nevelson-book76" target= "contents">NK76</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#benveniste-book90" target= "contents">BMP90</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#kushner-book78" target= "contents">KC78</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#delyon-ac96" target= "contents">Del96b</a>] que sous certaines hypothèses, peu restrictives mais pas toujours faciles à vérifier, <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img25.png" alt="$ \theta_{n}^{}$" /></span> converge presque sûrement vers  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" /></span>, et les variables  <span class="MATH"><img width="22" height="26" align="middle" border="0" src="img26.png" alt="$ \sqrt{n}$" />(<img width= "15" height="24" align="middle" border="0" src="img25.png" alt="$ \theta_{n}^{}$" /> - <img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \theta^{\ast}_{}$" />)</span> convergent en loi vers une variable normale de variance <span class= "MATH"><i>V</i></span> satisfaisant une certaine équation de Lyapunov [<a href="bibliographie_Toc.html#delyon-hdr96" target="contents">Del96a</a>]. On vérifie que <span class= "MATH"><i>V</i></span> peut être améliorée par l'introduction d'une matrice de gain <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img27.png" alt= "$ \Gamma$" /></span> dans l'algorithme : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="15" height="24" align="middle" border="0" src= "img21.png" alt="$\displaystyle \theta_{n}^{}$" /> = <img width="29" height="24" align="middle" border="0" src= "img22.png" alt="$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" /> - <img width="15" height="22" align="middle" border="0" src= "img23.png" alt= "$\displaystyle \gamma_{n}^{}$" /> <img width="11" height="23" align="middle" border="0" src="img28.png" alt= "$\displaystyle \Gamma$" /> <i>H</i>(<img width="29" height="24" align="middle" border="0" src="img22.png" alt= "$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" />, <i>Z</i><sub>n</sub>) </div>et que le choix optimal du gain permet d'atteindre la borne de Cramér-Rao. Malheureusement, cette matrice optimale est généralement inconnue. Cette difficulté peut être évitée par l'usage de l'algorithme de Polyak-Ruppert [<a href= "bibliographie_Toc.html#polyak-arc90" target= "contents">Pol90</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#delyon-pi952" target= "contents">DJ95b</a>] :<br /> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img21.png" alt="$\displaystyle \theta_{n}^{}$" /></td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"><img width="29" height="24" align="middle" border="0" src="img22.png" alt="$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" /> - <img width= "15" height="22" align="middle" border="0" src= "img23.png" alt= "$\displaystyle \gamma_{n}^{}$" /> <i>H</i>(<img width="29" height="24" align="middle" border="0" src="img22.png" alt="$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" />, <i>Z</i><sub>n</sub>)</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"><img width="15" height="27" align="middle" border="0" src="img29.png" alt="$\displaystyle \bar{\theta}_{n}^{}$" /></td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"><img width="29" height="27" align="middle" border="0" src="img30.png" alt="$\displaystyle \bar{\theta}_{n-1}^{}$" /> + <img width="13" height="40" align="middle" border="0" src="img31.png" alt= "$\displaystyle {\frac{1}{n}}$" /> [<img width= "29" height="24" align="middle" border="0" src= "img22.png" alt="$\displaystyle \theta_{n-1}^{}$" /> - <img width="29" height="27" align="middle" border="0" src="img30.png" alt= "$\displaystyle \bar{\theta}_{n-1}^{}$" />] .</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> avec un gain <span class="MATH"><img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img24.png" alt= "$ \gamma_{n}^{}$" /></span> typiquement d'ordre <span class= "MATH"><i>n</i><sup>-2/3</sup></span>. On peut prouver l'optimalité de cet algorithme (convergence de  <span class="MATH"><img width="16" height="27" align="middle" border="0" src="img32.png" alt= "$ \bar{\theta}_{n}^{}$" /></span> vers  <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \theta^{\ast}_{}$" /></span> à même vitesse que <span class="MATH"><img width="15" height= "24" align="middle" border="0" src="img25.png" alt= "$ \theta_{n}^{}$" /></span> dans le cas où <span class= "MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img27.png" alt="$ \Gamma$" /></span> est choisi au mieux) dans des circonstances assez générales. <p>Les algorithmes à gain constant (  <span class="MATH"><img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img24.png" alt="$ \gamma_{n}^{}$" /> = <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src= "img33.png" alt="$ \gamma$" /></span>) sont utilisés en revanche lorsque le vrai paramètre varie lentement dans le temps (situation de poursuite). Les études se concentrent dans ce cas sur une approche asymptotique où <span class= "MATH"><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img33.png" alt="$ \gamma$" /></span> et la vitesse de variation de  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span> sont petits. Un premier aspect est la convergence dans la période transitoire  <span class="MATH">(1<img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img34.png" alt= "$ \le$" /><i>n</i><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img34.png" alt="$ \le$" />1/<img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img33.png" alt= "$ \gamma$" />)</span>, période pendant laquelle <span class= "MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img25.png" alt="$ \theta_{n}^{}$" /></span> passe de la valeur initiale <span class="MATH"><img width="14" height= "24" align="middle" border="0" src="img35.png" alt= "$ \theta_{0}^{}$" /></span> à un voisinage de  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span>. Cette approche dite de l'équation différentielle moyenne est étudiée de façon approfondie dans [<a href= "bibliographie_Toc.html#benveniste-book90" target= "contents">BMP90</a>] et conduit à la conclusion suivante : si  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span> varie régulièrement à vitesse <span class="MATH"><i>v</i></span>, le gain doit être choisi d'ordre <span class= "MATH"><i>v</i><sup>2/3</sup></span>, mais si  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span> suit une marche aléatoire, le gain doit être proportionnel à l'amplitude moyenne de  <span class="MATH"><img width="7" height="25" align="middle" border="0" src="img36.png" alt="$ \vert$" /><img width="28" height="24" align="middle" border="0" src="img37.png" alt= "$ \theta_{n+1}^{\ast}$" /> - <img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /><img width="7" height="25" align= "middle" border="0" src="img36.png" alt="$ \vert$" /></span>. Un deuxième angle d'attaque correspond à l'étude de la distribution limite de <span class="MATH"><img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img25.png" alt= "$ \theta_{n}^{}$" /></span> lorsque  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span> a une distribution donnée et <span class="MATH"><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img33.png" alt="$ \gamma$" /></span> est fixé [<a href="bibliographie_Toc.html#delyon-sicon95" target="contents">DJ95a</a>], et conduit au même type de conclusion.</p> <p>Pour l'estimation directe d'un bon gain sans connaissance a priori sur les variations de  <span class="MATH"><img width="16" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \theta_{n}^{\ast}$" /></span>, i.e. la véritable adaptativité, on peut utiliser une méthode statistique inspirée de la solution d'un problème d'estimation non-paramétrique dans un cadre min-max [<a href= "bibliographie_Toc.html#lepskii-tpa91" target= "contents">Lep91</a>]. Cette méthode a été mise en oeuvre dans un cadre applicatif, pour un problème d'analyse d'images météorologiques, voir le rapport d'activité 1997 du projet <small>VISTA</small>.</p> </body>