Projet : SINUS - sinus

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Méthodes d'approximation</a></h2> <a name="SINUS_fondements_approximation" id= "SINUS_fondements_approximation"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>élément fini, volume fini, problème de Riemann, théorie TVD, schéma MUSCL, théorie LED, méthode POD .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Pour le projet S<small>INUS</small>, le but de la démarche d'approximation est de remplacer une équation aux dérivées partielles par un système algébrique dont la solution est :</i> <ul> <li><i>facilement calculable,</i></li> <li><i>proche de la solution de l'EDP,</i></li> <li><i>dotée de certaines propriétés de la solution de l'EDP.</i></li> </ul> <p><i>En Mécanique des Fluides compressibles, deux caractéristiques dominantes des modèles sont :</i></p> <ul> <li><i>les singularités, et non-linéarités,</i></li> <li><i>la complexité des géométries industrielles.</i></li> </ul> <p><i>Une revue récente des techniques modernes de la Mécanique des Fluides Numérique est présentée dans [<a href="bibliographie_Toc.html#Peyret96" target= "contents">Pey96</a>], [<a href= "bibliographie_ct.html#Anderson84" target= "contents">ATP84</a>], [<a href= "bibliographie_ct.html#Hirsch88" target= "contents">Hir88</a>].</i></p> </div> <p>Pour répondre aux défis ci-dessus, le projet S<small>INUS</small> s'est spécialisé dans le développement de méthodes combinant : (i) les résolutions approchées des <i>problèmes de Riemann</i> modélisant l'évolution d'un gaz à partir d'une interface plane entre deux états et (ii) les approximations en <i>maillages non-structurés</i>, c'est-à-dire par exemple celles s'appuyant sur la discrétisation du domaine de calcul en un ensemble de tétraèdres dans lesquels le nombre de sommets voisins d'un sommet donné est variable. Nous suggérons la lecture de [<a href="bibliographie_Toc.html#Toro97" target= "contents">Tor97</a>] au lecteur intéressé par les solveurs de Riemann.</p> <p>Pour le point (i), la pierre philosophale serait un « solveur de Riemann » qui conserverait la positivité des masses et températures, serait peu coûteux, et peu dissipatif, adaptable enfin à des écoulement complexes (turbulents, réactifs) et à des nombres de Mach de zéro à des valeurs très grandes. Les investigations dans ce sujet sont donc liées à l'étude des problèmes de Riemann, à la modélisation de la physique complexe et à l'analyse asymptotique.</p> <p>Pour le point (ii), la gageure est d'analyser et de maîtriser les erreurs locales et globales des nouvelles approximations sur des maillages de qualité de plus en plus arbitraire (étirement quelconque). La <i>consistance</i> et la <i>précision</i> sont mesurées grâce à des analyses variationnelles, des critères d'exactitude sur des polynômes, ou plus classiquement des calculs d'erreurs de troncature. La seconde préoccupation dans (ii) est de conserver la <i>positivité</i> de certaines solutions ; les approximations non-linéaires incluant des <i>limiteurs</i> sont analysées (approches TVD, Total Variation Diminishing, et LED, Local Extrema Diminishing) et utilisées intensivement. Enfin, de façon à contribuer à la <i>fiabilité du calcul numérique</i>, nous avons relancé une filière sur l'adaptation de maillage avec pour objectif de mettre au point des stratégies permettant (et mesurant) la convergence vers la solution exacte.</p> <p>L'émergence, sous l'impulsion de Rémi Abgrall (université de Bordeaux, ancien de S<small>INUS</small>), Richard Saurel (université de Provence à Marseille) et Hervé Guillard (S<small>INUS</small>), d'une nouvelle famille de méthodes d'approximation décentrées applicables à des écoulement très inhomogènes est une des motivations pour la création du projet S<small>MASH</small> en 2001.<br /></p> <p>En même temps un nouveau besoin de prédictions moins précises mais très rapides a vu le jour. La décomposition en modes propres orthogonaux (POD, Proper Orthogonal Decomposition, introduite par Lumley) est une voie séduisante pour apporter une réponse à ce besoin.</p> </body>