Projet : SOSSO - sosso

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html260" href= "fonde_Nonlin_mn.html#SECTION00032100000000000000" target= "main" id="tex2html260"><small>Comportement qualitatif de systèmes non linéaires. Problèmes de stabilité et d'oscillations</small></a></li> <li><a name="tex2html261" href= "fonde_Nonlin_mn.html#SECTION00032200000000000000" target= "main" id="tex2html261"><small>Commande robuste de systèmes à retards</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00032000000000000000" id= "SECTION00032000000000000000">Analyse et commande de systèmes à hystérésis ou à retards</a></h2> <a name="SOSSO_fondements_Nonlin" id= "SOSSO_fondements_Nonlin"></a> <h3><a name="SECTION00032100000000000000" id= "SECTION00032100000000000000">Comportement qualitatif de systèmes non linéaires. Problèmes de stabilité et d'oscillations</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Pierre-Alexandre Bliman, Michel Sorine.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>hystérésis, cycle d'hystérésis, solution périodique, systèmes à retards, saturations, stabilité, santé, ingéniérie, environnement .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>On étudie des problèmes de comportement qualitatif de systèmes qui sont non lináires, du fait d'hystérésis ou de saturations et présentent des retards. On examine en particulier des problèmes de stabilité et d'oscillations. Des exemples d'applications, traitées dans le projet, sont présentés.</i> </div> <p>Les systèmes non-linéaires sont connus pour exhiber une gamme très riche de comportements qualitatifs : équilibres multiples, cycles-limites forcés ou autonomes, bifurcations, chaos. En plus des problèmes plus classiques de stabilité de l'équilibre, l'étude des oscillations s'est peu à peu constituée comme un domaine à part entière au sein de l'Automatique («Contrôle des oscillations et du chaos», voir par exemple les «Proceedings 1st Conf. on control of oscillations and chaos, St-Petersburg, Sept. 1997»). Les modèles que nous utilisons comportant des éléments connus pour provoquer des oscillations en boucle fermée, tels qu'hystérésis ou retards, nous nous sommes naturellement tournés vers ce domaine.</p> <p>- Pour le frottement, les régimes périodiques interviennent par exemple lors de l'utilisation de «dither», vibration rapide que l'on impose au système pour réduire le frottement. Ces régimes peuvent également être gênants, provoquant des blocages intermittents du mouvement («stick-slip») ; on cherche alors à les éviter[<a href= "bibliographie_Toc.html#Bliman95-1" target= "contents">BS95</a>].</p> <p>- Pour le pot catalytique, la richesse des gaz à l'entrée est oscillante, du fait de l'utilisation d'un capteur tout-ou-rien (sonde lambda) dans la boucle de régulation de richesse : on parle de battements de sonde. Dans ce cas, les oscillations, dues à un retard dans la boucle (imputable physiquement aux différents temps du moteur et au transport des gaz jusqu'à la sonde), sont inévitables. On cherchera par exemple à en contrôler la période et l'amplitude[<a href= "bibliographie_Toc.html#ABS97" target="contents">ABS97</a>]. Cet aspect d'identification et de réglage du système à partir des propriétés des oscillations est présent dans la fameuse méthode de Ziegler et Nichols[<a href= "bibliographie_Toc.html#ZN42" target= "contents">JN42</a>].</p> <p>- Pour le muscle cardiaque, les battements du coeur agissent comme une excitation périodique sur le système circulatoire, le <small>SNA</small> contrôlant les caractéristiques de cette entrée, voir la section <a href= "domai_traitement_Toc.html#regul-SNA">4.3.1</a>.</p> <p>Ces diverses situations dans lesquelles il s'agit d'analyser, de contrôler ou d'identifier des systèmes du type de celui représenté sur la figure <a href= "fonde_Nonlin_Toc.html#semi-lin">1</a>, conduisent à considérer pour ces systèmes une classe de problèmes : oscillations forcées[<a href="bibliographie_Toc.html#BKS95" target="contents">BAS95</a>], stabilité des cycles, résonance paramétrique[<a href="bibliographie_Toc.html#Resonance96" target="contents">BASA96</a>], observabilité...</p> <div align="center"> <a name="semi-lin" id="semi-lin"></a><a name="737"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 1:</strong> Système semi-linéaire </caption> <tr> <td><img width="166" height="85" border="0" src= "img39.png" alt= "\begin{figure} \begin{center} \footnotesize \setlength {\unitlength}{.0075\text... ...66,32){\makebox(0,0)[b]{$y$}} \end{picture} \normalsize \end{center}\end{figure}" /></td> </tr> </table> </div> <p><span class="MATH"><i>H</i></span> est un opérateur linéaire, comportant éventuellement des retards, <span class= "MATH"><img width="12" height="24" align="middle" border="0" src="img40.png" alt="$ \psi$" /></span> une non-linéarité éventuellement partiellement hystérétique, <span class= "MATH"><i>u</i></span> représente les entrées commandées, mais aussi les bruits. Par exemple, le modèle (<a href= "fonde_Hysteresis_Toc.html#pothysteres">6</a>) du pot catalytique est de ce type : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="13" height="29" align="middle" border="0" src= "img41.png" alt="$\displaystyle \dot{\mathcal{R}}$" /> = - <img width="19" height="41" align="middle" border="0" src= "img42.png" alt= "$\displaystyle {\frac{V_g}{L}}$" />(<img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img43.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {R}$" /> - <img width="13" height= "23" align="middle" border="0" src="img43.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {R}$" /><sup>in</sup>) + <i>K</i>(<img width="14" height="23" align="middle" border= "0" src="img44.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {H}$" />(<img width="13" height= "23" align="middle" border="0" src="img43.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {R}$" />) - <img width="13" height="24" align="middle" border="0" src="img45.png" alt= "$\displaystyle \theta_{s}^{}$" />(0)). </div>L'étude de ces problèmes fait appel à un large spectre de méthodes de l'analyse fonctionnelle. <h3><a name="SECTION00032200000000000000" id= "SECTION00032200000000000000">Commande robuste de systèmes à retards</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Catherine Bonnet, Jonathan Partington, Michel Sorine.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>systèmes à retards, commande robuste, saturations, marge optimale de robustesse, stabilisation, distance à l'instabilité, santé, ingéniérie, environnement stabilité .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les techniques de commande robuste sont très utiles en présence d'erreurs de modélisation structurelles du système à commander. Les idées de base de ces techniques ne sont pas limitées au cas linéaire de dimension finie, comme on le montre ici à propos de systèmes à retard éventuellement non linéaires rencontrés dans nos applications. L'idée de marge optimale de robustesse pour un contrôleur stabilisant s'étend aussi : des résultats de paramétrisation de l'ensemble des contrôleurs stabilisants permettent l'optimisation sur cet ensemble d'une distance à l'instabilité du système bouclé.</i> </div> <p>Notre intérêt pour les systèmes à retards vient en particulier de problèmes rencontrés lors de la dépollution de moteurs thermiques comme la régulation de la richesse. Il s'agit de régler la durée d'injection d'essence, en fonction de la masse d'air admise, pour réguler la richesse des gaz d'échappement du moteur qui peut être mesurée par une sonde proportionnelle (elle fournit la valeur de la richesse) ou une sonde lambda (sonde tout-ou-rien indiquant la position par rapport à la stoechiométrie : le gaz est riche ou pauvre). En pratique, il est suffisant de représenter la relation durée d'injection / richesse par un système différentiel linéaire du premier ordre, à retard, stable. La masse d'air admise est vue comme une entrée de perturbation. La fonction de sortie est non linéaire (fonction signe) dans le cas de la sonde lambda. La simplicité de cette modélisation doit être compensée par la robustesse de la commande de durée d'injection.</p> <p>Les problèmes d'automatique posés dans cette application ont été formalisés par la classe suivante de problèmes génériques : <em>régulation (optimale) et stabilisation robuste (optimale) de systèmes à retards équipés de capteurs linéaires ou non linéaires dans un cadre entrée-sortie <span class="MATH"><i>L</i><sup><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img12.png" alt= "$\scriptstyle \infty$" /></sup></span> (Bounded Input Bounded Output)</em>.<br /> L'approche suivie pour étudier ces problèmes utilise des opérateurs entrée / sortie temporels ou fréquentiels. Elle est adaptée à l'étude de la robustesse : l'utilisation de distances entre graphes d'opérateurs («Gap metric») permet la prise en compte de larges classes de perturbations du système à contrôler[<a href="bibliographie_Toc.html#vidya85" target="contents">Vid85</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#gs90" target= "contents">TM90</a>,<a href="bibliographie_ct.html#gs95" target="contents">TM95</a>], incluant des perturbations sur le retard. Dans ce qui suit l'espace des opérateurs est muni de la topologie associée. Cette approche a également l'avantage d'unifier l'étude des cas linéaires et de cas non linéaires (on utilise alors les opérateurs temporels). La stabilité est définie, dans ce contexte entrée / sortie, à partir des propriétés de bornitude de l'opérateur. Dans le cas linéaire, elle est définie de façon équivalente à partir de la norme du transfert dans  <span class="MATH"><img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt= "$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span>, algèbre des transformées de Laplace des noyaux de convolution du type «fonction <span class="MATH"><i>L</i><sup>1</sup></span> + somme absolument convergente de Dirac retardés» (voir le livre de Curtain et Zwart[<a href= "bibliographie_Toc.html#Curtain-Zwart" target= "contents">RH95</a>] pour une introduction à ces notions).<br /> Les problèmes de contrôle que nous considérons sont illustrés par la figure <a href="fonde_Nonlin_Toc.html#C1C2">2</a> dans laquelle</p> <div align="center"> <a name="C1C2" id="C1C2"></a><a name="1000"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 2:</strong> Implémentation idéalisée d'un contrôleur à deux degrés de liberté <span class= "MATH"><i>C</i><sub>1</sub></span>, <span class= "MATH"><i>C</i><sub>2</sub></span>. </caption> <tr> <td><img width="237" height="133" border="0" src= "img47.png" alt= "\begin{figure} \centering \footnotesize \setlength {\unitlength}{.0075\textwidt... ...){14}} \put(55,17){\makebox(0,0)[b]{$y$}} \end{picture} \normalsize \end{figure}" /></td> </tr> </table> </div><span class="MATH"><i>r</i></span> est le signal de référence auquel doit «ressembler» la sortie <span class= "MATH"><i>y</i></span> pour une entrée <span class= "MATH"><i>u</i></span> bien choisie, et ce malgré les entrées de perturbation comme <span class="MATH"><i>d</i></span> ou les perturbations structurelles comme <span class= "MATH"><img width="22" height="23" align="middle" border="0" src="img48.png" alt="$ \Delta_{P}^{}$" /></span>.<br /> Il est apparu qu'un schéma de commande intéressant pour notre problème est celui du contrôleur à deux degrés de liberté, ici <span class="MATH"><i>C</i><sub>1</sub></span> et <span class="MATH"><i>C</i><sub>2</sub></span> puisqu'il permet de traiter les problèmes de stabilisation et de régulation de manière indépendante. <p><b>Le cas linéaire.</b> Nous avons étudié les systèmes à retards du type :<br />  <span class="MATH"><i>P</i>(<i>s</i>) = <img width="34" height="43" align="middle" border="0" src="img49.png" alt= "$\displaystyle {\frac{h_2(s)}{h_1(s)}}$" /></span>     où       <span class="MATH"><i>h</i><sub>1</sub>(<i>s</i>) = <img width="22" height="49" align="middle" border="0" src= "img50.png" alt= "$\displaystyle \sum_{i=0}^{n_1}$" /><i>p</i><sub>i</sub>(<i>s</i>)<i>e</i><sup>- <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src= "img51.png" alt="$\scriptstyle \gamma_{i}$" />s</sup></span>,  <span class= "MATH">    <i>h</i><sub>2</sub>(<i>s</i>) = <img width="22" height="49" align="middle" border="0" src= "img52.png" alt= "$\displaystyle \sum_{i=0}^{n_2}$" /><i>q</i><sub>i</sub>(<i>s</i>)<i>e</i><sup>- <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src= "img53.png" alt= "$\scriptstyle \beta_{i}$" />s</sup></span><br /> avec  <span class="MATH">0 = <img width="15" height="22" align= "middle" border="0" src="img54.png" alt= "$\displaystyle \gamma_{0}^{}$" /> < <img width="14" height="22" align="middle" border="0" src="img55.png" alt= "$\displaystyle \gamma_{1}^{}$" /> <sup>...</sup> < <img width="21" height="22" align="middle" border="0" src= "img56.png" alt="$\displaystyle \gamma_{n_1}^{}$" /></span>,  <span class="MATH">0 <img width="12" height="22" align= "middle" border="0" src="img57.png" alt= "$\displaystyle \leq$" /> <img width="16" height="24" align= "middle" border="0" src="img58.png" alt= "$\displaystyle \beta_{0}^{}$" /> < <img width="15" height="24" align="middle" border="0" src="img59.png" alt= "$\displaystyle \beta_{1}^{}$" /> <sup>...</sup> < <img width="22" height="24" align="middle" border="0" src= "img60.png" alt= "$\displaystyle \beta_{n_2}^{}$" /></span>,<br /> les <span class="MATH"><i>p</i><sub>i</sub></span> sont des polynômes de degré <span class="MATH"><img width="12" height= "24" align="middle" border="0" src="img61.png" alt= "$ \delta_{i}^{}$" /></span> et  <span class="MATH"><img width="12" height="24" align="middle" border="0" src="img61.png" alt="$ \delta_{i}^{}$" /> < <img width="14" height="24" align="middle" border="0" src= "img62.png" alt="$ \delta_{0}^{}$" /></span> pour <span class="MATH"><i>i</i> <img width="12" height="24" align="middle" border="0" src="img63.png" alt="$ \neq$" /> 0</span> et les <span class= "MATH"><i>q</i><sub>i</sub></span> sont des polynômes de degré  <span class="MATH"><i>d</i><sub>i</sub> < <img width="14" height="24" align="middle" border="0" src="img62.png" alt= "$ \delta_{0}^{}$" /></span> pour tout <span class= "MATH"><i>i</i></span>. En particulier  <span class="MATH">(1 + <i>s</i>)<sup>- <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img64.png" alt= "$\scriptstyle \delta_{0}$" /></sup><i>h</i><sub>1</sub>(<i>s</i>)</span> et  <span class="MATH">(1 + <i>s</i>)<sup>- <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img64.png" alt= "$\scriptstyle \delta_{0}$" /></sup><i>h</i><sub>2</sub>(<i>s</i>)</span> sont des éléments de  <span class="MATH"><img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt= "$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span> dont le rapport est aussi <span class="MATH"><i>P</i>(<i>s</i>)</span>.<br /> Les systèmes de ce type appartiennent à la classe de Callier-Desoer  <span class="MATH"><img width="11" height="15" align="bottom" border="0" src="img65.png" alt= "$ \hat{\mathcal{B}}$" />(0)</span> et admettent une factorisation coprime <span class="MATH">(<i>N</i>, <i>D</i>)</span> sur  <span class="MATH"><img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt= "$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span> : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>P</i> = <i>ND</i><sup>-1</sup>     avec      - <i>NX</i> + <i>DY</i> = 1     et     <i>N</i>,  <i>D</i>,  <i>X</i>,  <i>Y</i> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img7.png" alt= "$\displaystyle \in$" /> <img width="13" height="30" align= "middle" border="0" src="img66.png" alt= "$\displaystyle \hat{\mathcal{A}}$" />(0) </div>Nous avons déterminé [<a href= "bibliographie_Toc.html#bpRef99" target="contents">6</a>] une expression explicite des facteurs de Bézout <span class= "MATH">(<i>X</i>, <i>Y</i>)</span>. Cela permet de calculer tous les contrôleurs <span class="MATH"><i>C</i></span>, à un ou deux degrés de liberté, stabilisant <span class= "MATH"><i>P</i></span>. Ces contrôleurs sont de la forme <span class="MATH"><i>C</i><sub>1</sub> = <i>I</i></span> et  <span class="MATH"><i>C</i><sub>2</sub> = (<i>Y</i> + <i>NQ</i>)<sup>-1</sup>(<i>X</i> + <i>DQ</i>)</span>, avec  <span class="MATH"><i>Q</i> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img67.png" alt="$ \in$" /> <img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src= "img46.png" alt="$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span> (contrôleur à un degré de liberté, <span class= "MATH"><i>Q</i></span>) et  <span class="MATH"><i>C</i><sub>1</sub> = (<i>Y</i> + <i>NQ</i>)<sup>-1</sup><i>U</i></span>,  <span class="MATH"><i>C</i><sub>2</sub> = (<i>Y</i> + <i>NQ</i>)<sup>-1</sup>(<i>X</i> + <i>DQ</i>)</span>, avec  <span class="MATH"><i>U</i>, <i>Q</i> <img width="11" height= "22" align="middle" border="0" src="img67.png" alt= "$ \in$" /> <img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt= "$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span> (contrôleur à deux degrés de liberté, <span class="MATH"><i>Q</i></span> et <span class="MATH"><i>U</i></span>).<br /> <em>Le problème de régulation optimale.</em> Il s'agit de trouver <span class="MATH"><i>U</i><sup>opt</sup></span> tel que le gain entre la référence <span class= "MATH"><i>r</i></span> et l'erreur de régulation  <span class="MATH"><i>y</i> - <i>r</i> = - (<i>I</i> - <i>NU</i>)<i>r</i> + (<i>Y</i> + <i>QN</i>)<i>Dd</i></span>, soit minimal : <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap">| <i>W</i>(<i>I</i> - <i>NU</i><sup>opt</sup>)|<sub><img width="11" height= "24" align="middle" border="0" src="img68.png" alt= "$\scriptstyle \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</sub> = <img width="38" height="35" align="middle" border="0" src="img69.png" alt= "$\displaystyle \inf_{U \in \hat{\mathcal{A}}(0) }^{}$" /> | <i>W</i>(<i>I</i> - <i>NU</i>)|<sub><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img68.png" alt= "$\scriptstyle \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</sub>,</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">7</span>)</td> </tr> </table> </div>où <span class="MATH"><i>W</i></span> est un filtre choisi pour améliorer la qualité de la poursuite dans une certaine bande de fréquence.<br /> L'implémentation correcte de ce contrôleur est représentée figure <a href="fonde_Nonlin_Toc.html#C1C2reel">3</a> <div align="center"> <a name="C1C2reel" id="C1C2reel"></a><a name="899"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 3:</strong> Implémentation réaliste d'un contrôleur à deux degrés de liberté <span class= "MATH"><i>U</i></span>, <span class= "MATH"><i>Q</i></span>. </caption> <tr> <td><img width="331" height="133" border="0" src= "img70.png" alt= "\begin{figure} \centering \footnotesize \setlength {\unitlength}{.0075\textwidt... ...(-1,0){21}} \put(29,15){\vector(0,1){14}} \end{picture} \normalsize \end{figure}" /></td> </tr> </table> </div>dans le cas de deux degrés de liberté. Le feedforward est ici <span class="MATH"><i>U</i></span> (qui est stable) au lieu de <span class="MATH"><i>C</i><sub>1</sub></span> (qui peut être instable), ce qui est nécessaire pour la stabilité interne. Nous avons obtenu une solution de ce problème d'optimisation, entre autres, dans le cas où  <span class="MATH"><i>N</i>(<i>s</i>) = <img width="27" height="32" align="middle" border="0" src="img71.png" alt= "$ {\frac{e^{-sT}}{s+\gamma}}$" /></span>, <span class= "MATH"><img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img72.png" alt="$ \gamma$" /> > 0</span> (cas du moteur).<br /> <em>Le problème de stabilisation robuste optimale</em> est le suivant : un contrôleur stabilisant en présence de la perturbation <span class="MATH"><img width="22" height="23" align="middle" border="0" src="img48.png" alt= "$ \Delta_{P}^{}$" /></span> doit maintenant être déterminé à partir du modèle <span class="MATH">(<i>N</i>,  <i>D</i>)</span> qui n'est qu'approché. La démarche pour déterminer un contrôleur satisfaisant est la suivante : nous savons[<a href= "bibliographie_Toc.html#vidya85" target="contents">Vid85</a>] que pour chaque contrôleur  <span class="MATH"><i>C</i> = (<i>Y</i> + <i>NQ</i>)<sup>-1</sup>(<i>X</i> + <i>DQ</i>)</span>, il existe un voisinage de <span class="MATH"><i>P</i></span>,  <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="11" height="23" align="middle" border="0" src= "img73.png" alt="$\displaystyle \mathcal {V}$" />(<i>N</i>, <i>D</i>, <i>a</i>) = {<i>P</i> + <img width="22" height= "23" align="middle" border="0" src="img74.png" alt= "$\displaystyle \Delta_{P}^{}$" /> = <img width="53" height="41" align="middle" border="0" src="img75.png" alt= "$\displaystyle {\frac{N+\Delta_N}{D+\Delta_{D}}}$" /> tel que |(<img width="23" height="23" align="middle" border="0" src="img76.png" alt= "$\displaystyle \Delta_{N}^{}$" />,<img width="22" height= "23" align="middle" border="0" src="img77.png" alt= "$\displaystyle \Delta_{D}^{}$" />)| < <i>a</i>} </div>tel que <span class="MATH"><i>C</i></span> stabilise non seulement <span class="MATH"><i>P</i></span> mais également tous les systèmes dans  <span class="MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img78.png" alt="$ \mathcal {V}$" /></span>. <p>La marge de robustesse (distance à l'instabilité) <span class="MATH"><i>b</i><sub>C</sub></span> de <span class="MATH"><i>C</i></span> représente la taille de ce voisinage : si  <span class="MATH">|(<img width="22" height="23" align= "middle" border="0" src="img79.png" alt= "$ \Delta_{N}^{}$" />,<img width="23" height="23" align= "middle" border="0" src="img80.png" alt= "$ \Delta_{D}^{}$" />)| < <i>b</i><sub>C</sub></span>, <span class="MATH"><i>C</i></span> stabilise  <span class="MATH"><img width="38" height="30" align="middle" border="0" src="img81.png" alt= "$ {\frac{N+\Delta_N}{D+\Delta_D}}$" /></span> et il existe un couple  <span class="MATH">(<img width="23" height="27" align= "middle" border="0" src="img82.png" alt= "$ \Delta_{N}^{0}$" />,<img width="22" height="27" align= "middle" border="0" src="img83.png" alt= "$ \Delta_{D}^{0}$" />)</span> de norme <span class= "MATH"><i>b</i><sub>C</sub></span> tel que <span class= "MATH"><i>C</i></span> ne stabilise pas  <span class="MATH"><img width="39" height="36" align="middle" border="0" src="img84.png" alt= "$ {\frac{N+\Delta_N^0}{D+\Delta_D^0}}$" /></span>.</p> <p>On cherche alors le contrôleur <span class= "MATH"><i>C</i><sup>opt</sup></span> qui possède la plus grande marge de robustesse  <span class="MATH"><i>b</i><sub>C</sub><sup>opt</sup> = <img width="21" height="31" align="middle" border="0" src= "img85.png" alt= "$\displaystyle \sup_{C}^{}$" /><i>b</i><sub>C</sub></span>. Cela revient à trouver <span class= "MATH"><i>Q</i><sup>opt</sup></span> tel que</p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="10" height="51" align="middle" border="0" src="img86.png" alt="$\displaystyle \Bigg\Vert$" /><img width="13" height="44" align="middle" border="0" src="img87.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{l} X \\ Y \end{array} }\right.$" /><img width="27" height="44" align="middle" border="0" src="img88.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} X \\ Y \end{array}$" /> <img width="13" height="44" align="middle" border="0" src="img89.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} X \\ Y \end{array} }\right)$" /> + <img width="14" height="44" align="middle" border= "0" src="img90.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{array}{l} D \\ N \end{array}}\right.$" /> <img width="26" height="44" align="middle" border="0" src="img91.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} D \\ N \end{array}$" /> <img width="14" height="44" align="middle" border="0" src="img92.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l} D \\ N \end{array}}\right)$" /> <i>Q</i><sup>opt</sup><img width="20" height="51" align="middle" border="0" src="img93.png" alt= "$\displaystyle \Bigg\Vert _{\infty}^{}$" /> = <img width="35" height="32" align="middle" border="0" src="img94.png" alt= "$\displaystyle \inf_{Q \in H_\infty}^{}$" /><img width="10" height="51" align="middle" border="0" src="img86.png" alt="$\displaystyle \Bigg\Vert$" /><img width="13" height="44" align="middle" border="0" src="img87.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{l} X \\ Y \end{array} }\right.$" /><img width="27" height="44" align="middle" border="0" src="img88.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} X \\ Y \end{array}$" /> <img width="13" height="44" align="middle" border="0" src="img89.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} X \\ Y \end{array} }\right)$" /> + <img width="14" height="44" align="middle" border= "0" src="img90.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{array}{l} D \\ N \end{array}}\right.$" /> <img width="26" height="44" align="middle" border="0" src="img91.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} D \\ N \end{array}$" /> <img width="14" height="44" align="middle" border="0" src="img92.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l} D \\ N \end{array}}\right)$" /> <i>Q</i><img width="20" height="51" align="middle" border="0" src="img93.png" alt= "$\displaystyle \Bigg\Vert _{\infty}^{}$" />,</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">8</span>)</td> </tr> </table> </div>problème d'optimisation <span class= "MATH"><i>H</i><sub><img width="13" height="11" align= "bottom" border="0" src="img12.png" alt= "$\scriptstyle \infty$" /></sub></span> qui se posait déjà dans le cadre <span class="MATH"><i>L</i><sup>2</sup></span> (contrôleur <span class="MATH"><i>H</i><sub><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img12.png" alt= "$\scriptstyle \infty$" /></sub></span>-optimal déterminé par Georgiou et Smith [<a href="bibliographie_Toc.html#dgs95" target="contents">DTM95</a>]) et pour lequel on ne connaît pas d'expression explicite de la solution lorsque <span class="MATH"><i>N</i></span>, <span class= "MATH"><i>D</i></span>, <span class="MATH"><i>X</i></span>, <span class="MATH"><i>Y</i></span> ne sont pas rationnels. Une méthode d'approximation est donc utilisée.<br /> Le cadre <span class="MATH"><i>L</i><sup><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img12.png" alt= "$\scriptstyle \infty$" /></sup></span> se revèle avantageux ici par rapport au cadre <span class= "MATH"><i>L</i><sup>2</sup></span> puisqu'il est possible (dans le cas où la plus grande valeur singulière de <span class="MATH"><i>D</i><sup>*</sup><i>X</i> + <i>N</i><sup>*</sup><i>Y</i></span> est de multiplicité égale à un) de construire un approximant de <span class= "MATH"><i>Q</i><sup>opt</sup></span> dans  <span class="MATH"><img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt= "$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span> à partir d'approximants des facteurs coprimes de <span class="MATH"><i>P</i></span>. On obtient ainsi dans ce cas la convergence du contrôleur optimal du système de dimension finie vers celui du système initial ainsi que la convergence de leurs marges de robustesse. <p><b>Le cas non linéaire.</b> Dans le cas de capteurs ou actionneurs non linéaires, nous avons restreint l'étude aux systèmes à retards du type  <span class="MATH"><i>P</i>(<i>s</i>) = <i>e</i><sup>-sT</sup><i>R</i>(<i>s</i>)</span> où <span class="MATH"><i>R</i></span> est :<br /> - rationnel dans le cas d'un actionneur non linéaire,<br /> - rationnel stable dans le cas d'un capteur non linéaire de type tout-ou-rien ou saturation.</p> <p>Dans le premier cas on s'appuie sur un résultat de Verma[<a href="bibliographie_Toc.html#v88" target= "contents">Ver88</a>] décrivant l'ensemble des contrôleurs non linéaires stabilisant un système linéaire. La stabilisation d'un système à retard (non nécessairement stable) est étudiée suivant cette approche dans [<a href= "bibliographie_Toc.html#bps00c" target= "contents">25</a>].<br /> Dans le deuxième cas nous avons repris un schéma de contrôleur à deux degrés de liberté [<a href= "bibliographie_Toc.html#bps99a" target= "contents">4</a>,<a href="bibliographie_ct.html#bps00c" target="contents">25</a>]. Il s'est avéré que le problème de poursuite se pose, dans ce cas, dans les mêmes termes que dans le cas linéaire, ce qui permet l'utilisation des résultats d'optimisation dans  <span class="MATH"><img width="13" height="15" align="bottom" border="0" src="img46.png" alt= "$ \hat{\mathcal{A}}$" />(0)</span> obtenus précédemment. La stabilité de la boucle fermée est analysée pour trois types d'opérateurs : bornés (encore dits «gf-stable» car on peut leur associer une «gain-function» qui associe au rayon d'une boule la borne de l'ensemble image), uniformément bornés (ou «norme-stable») ou uniformément Lipschitz («incrementally stable»)[<a href= "bibliographie_Toc.html#gs97" target="contents">TM97</a>]. Nous avons proposé une famille de contrôleurs non linéaires qui stabilisent de façon incrémentale la boucle fermée en présence de l'opérateur de saturation ou de l'opérateur signe. Dans le cas du signe, la robustesse ne peut être analysée que suivant la gf-stabilité ; cependant, dans le cas où la poursuite est réalisée, nous obtenons des conditions garantissant la norme-stabilité de la boucle fermée (les contrôleurs sont donc localement norme-stabilisant). Dans le cas d'une saturation, la robustesse est analysée suivant la norme-stabilité. Pour une sous-classe de contrôleurs, nous obtenons des marges de robustesse relativement à la stabilité incrémentale.</p> </body>