Projet : SOSSO - sosso

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html469" href= "resul_R2_mn.html#SECTION00062100000000000000" target= "main" id="tex2html469"><small>Commande de systèmes à retard avec sortie tout-ou-rien</small></a></li> <li><a name="tex2html470" href= "resul_R2_mn.html#SECTION00062200000000000000" target= "main" id="tex2html470"><small>Stabilisation robuste des systèmes exponentiels fractionnaires à retards</small></a></li> <li><a name="tex2html471" href= "resul_R2_mn.html#SECTION00062300000000000000" target= "main" id="tex2html471"><small>Une classe d'opérateurs d'hystérésis pseudo-différentiels</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00062000000000000000" id= "SECTION00062000000000000000">Modélisation et commande des systèmes à retards ou à hystérésis</a></h2>  <a name="SOSSO_resultats_R2" id="SOSSO_resultats_R2"></a> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les systèmes que nous étudions sont constitués d'une partie linéaire à retard avec, en contre-réaction, une non-linéarité de type signe ou saturation. Nous recherchons des contrôleurs robustes pour les asservir ou les stabiliser. De tels systèmes peuvent être le siège d'oscillations qu'il s'agit de contrôler ou d'analyser pour des applications en identification. Cette année, nous avons, de plus, commencé l'étude de retards fractionnaires.</i> </div> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Marianne Akian, Sophie Bismuth, Pierre-Alexandre Bliman, Catherine Bonnet, Jonathan Partington, Michel Sorine.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>commande robuste, retard, saturation, signe, système linéaire fractionnaire, facteurs de Bézout .</i></p> <h3><a name="SECTION00062100000000000000" id= "SECTION00062100000000000000">Commande de systèmes à retard avec sortie tout-ou-rien</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Marianne Akian, Sophie Bismuth, Pierre-Alexandre Bliman.<br /> <br /> <p>Nous avons poursuivi cette année l'étude de la dynamique de systèmes simples à retard et relais, du type de  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img104.png" alt="$ \dot{x}$" /> + <i>x</i> = - <i>sgnx</i>(<i>t</i> - <i>h</i>)</span>, représentant le comportement en boucle fermée de certains systèmes contrôlés par des capteurs ou actionneurs «rustiques», fournissant une information binaire et retardée. Pour le système précédent, l'étude complète avait été faite, et montrait l'existence d'une infinité dénombrable de cycles-limites, de période et d'amplitude s'accumulant en zéro, mais dont un seul cependant est stable; c'est également le seul de ces cycles à avoir une période supérieure à deux fois le retard. Cet aspect constitue une limitation du comportement de ces systèmes, car une taille minimale est en pratique imposée à <span class= "MATH"><i>x</i></span>, celle de l'amplitude du cycle stable, alors qu'on préfèrerait avoir la possibilité de la diminuer. L'utilisation de petits gains peut être envisagée, mais cette politique se heurte en pratique à la nécessité de prendre en compte les perturbations: le gain ne peut être diminué arbitrairement. Ainsi, il nous a semblé intéressant d'examiner dans quelles conditions des systèmes proches du précédent pouvaient posséder des solutions périodiques stables de période petite (typiquement, inférieure à deux fois le retard), et donc d'amplitude également petite.</p> <p>L'étude complexe de la typologie de tous les cycles d'un système ayant une non-linéarité antisymétrique mais non monotone, montre que pour un tel système, tous les cycles rapides sont également instables.</p> <h3><a name="SECTION00062200000000000000" id= "SECTION00062200000000000000">Stabilisation robuste des systèmes exponentiels fractionnaires à retards</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Catherine Bonnet, Jonathan Partington.<br /> <br /> <p>La stabilisation robuste des sytèmes exponentiels fractionnaires (dont la fonction de transfert est du type  <span class="MATH"><i>P</i>(<i>s</i>) = <img width="134" height="98" align="middle" border="0" src="img105.png" alt= "$\displaystyle {\frac{q_0(s) + \displaystyle \sum_{i=1}^{i=\tilde{n}_2}\tilde{q_... ...(s) +\displaystyle \sum_{i=1}^{i=\tilde{n}_1}\tilde{p_i}(s)e ^ {-\gamma_is^r}}}$" /> </span>) a été considérée dans [<a href= "bibliographie_Toc.html#CJR-SCL-00" target= "contents">26</a>]. Les techniques développées dans cette étude ne permettaient pas l'analyse du cas limite <span class="MATH"><i>r</i> = 1</span> correspondant à des retards. Nous l'avons traité cette année, généralisant certains résultats qu'avait obtenu Hotzel [<a href= "bibliographie_Toc.html#Hot98" target="contents">Hot98</a>] avec des méthodes temporelles ( <i>i.e.</i> méthodes d'analyse du comportement de la réponse impulsionnelle).</p> <p>Les fonctions de transfert les plus générales étudiées sont celles de la forme:</p> <p><br /></p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-frac-del-exp" id="eq-frac-del-exp"></a>  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"> <i>P</i>(<i>s</i>)</td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap">=</td> <td align="left" nowrap="nowrap"><img width="227" height="98" align="middle" border="0" src="img106.png" alt= "$\displaystyle {\frac{q_0(s) + \displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}q_i(s)e ^ { -\beta_i... ...mma_i s} + \displaystyle\sum_{i=1}^{\tilde{n}_1}\tilde{p}_i(s)e ^ {-u_i(s) } }}$" /></td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> où  <span class="MATH">0 < <img width="14" height="22" align= "middle" border="0" src="img55.png" alt= "$\displaystyle \gamma_{1}^{}$" /> <sup>...</sup> < <img width="21" height="22" align="middle" border="0" src= "img56.png" alt="$\displaystyle \gamma_{n_1}^{}$" /></span>,  <span class="MATH">0 < <img width="15" height="24" align= "middle" border="0" src="img59.png" alt= "$\displaystyle \beta_{1}^{}$" /> <sup>...</sup> < <img width="22" height="24" align="middle" border="0" src= "img60.png" alt="$\displaystyle \beta_{n_2}^{}$" /></span>, les <span class="MATH"><i>p</i><sub>i</sub></span>, <span class="MATH"><i>q</i><sub>i</sub></span>,  <span class="MATH"><img width="12" height="23" align="middle" border="0" src="img107.png" alt= "$ \tilde{p}_{i}^{}$" /></span>,  <span class="MATH"><img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img108.png" alt= "$ \tilde{q}_{i}^{}$" /></span> sont des polynômes de la forme  <span class="MATH"><img width="21" height="55" align="middle" border="0" src="img109.png" alt= "$\displaystyle \sum_{k=0}^{l_i}$" /><i>a</i><sub>k</sub><i>s</i><sup><img width="15" height="22" align="middle" border="0" src="img110.png" alt= "$\scriptstyle \alpha_{k}$" /></sup></span> avec  <span class="MATH"><img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img111.png" alt="$ \alpha_{k}^{}$" /> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src= "img67.png" alt="$ \in$" /> <b>R</b><sup>+</sup></span>, les <span class="MATH"><i>u</i><sub>i</sub></span>, <span class= "MATH"><i>v</i><sub>i</sub></span> sont des polynômes de la forme  <span class="MATH"><img width="22" height="50" align="middle" border="0" src="img112.png" alt= "$\displaystyle \sum_{k=1}^{m_i}$" /><i>b</i><sub>k</sub><i>s</i><sup><img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img113.png" alt= "$\scriptstyle \delta_{k}$" /></sup></span> avec  <span class="MATH">0 < <img width="15" height="24" align= "middle" border="0" src="img114.png" alt= "$ \delta_{k}^{}$" /> <img width="12" height="22" align= "middle" border="0" src="img115.png" alt="$ \leq$" /> 1</span> et  <span class="MATH"><i>b</i><sub>k</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img116.png" alt= "$ \geq$" /> 0</span>. Nous avons supposé bien sûr que les <span class="MATH"><i>u</i><sub>i</sub></span> et <span class="MATH"><i>v</i><sub>i</sub></span> n'étaient pas de la forme <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img117.png" alt= "$ \alpha$" /><i>s</i></span> c'est-à-dire, n'étaient pas des polynômes standards de degré un. Nous avons également fait l'hypothèse que le numérateur et le dénominateur de <span class="MATH"><i>P</i>(<i>s</i>)</span> n'avaient pas de zéro commun dans  <span class="MATH">{ <i>Res</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img116.png" alt="$ \geq$" /> 0} <img width="9" height="25" align="middle" border="0" src= "img118.png" alt="$ \setminus$" /> {0}</span>. <p>Pour la sous-classe des systèmes (fractionnaires exponentiels à retards) retardés ( <i>i.e</i> ceux vérifant  <span class="MATH"><i>deg</i> <i>p</i><sub>0</sub> > <i>deg</i>I>p</span><sub>i</sub> pour  <span class="MATH"><i>i</i> = 1, <sup>...</sup> , <i>n</i><sub>1</sub></span> et  <span class="MATH"><i>deg</i> <i>p</i><sub>0</sub> > <i>deg</i> <i>q</i><sub>i</sub></span> pour  <span class="MATH"><i>i</i> = 0, <sup>...</sup> , <i>n</i><sub>2</sub></span>), nous avons prouvé qu'une condition nécessaire et suffisante de BIBO-stabilité était encore que <span class="MATH"><i>P</i></span> n'ait pas de pôles dans  <span class="MATH">{<i>s</i> <img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img67.png" alt="$ \in$" /> <b>C</b> : <i>Res</i> <img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img116.png" alt="$ \geq$" /> 0}</span>.</p> <p>La condition suffisante de stabilité obtenue pour les systèmes (fractionnaires exponentiels à retards) neutres ( <i>i.e</i> ceux vérifant  <span class="MATH"><i>deg</i> <i>p</i><sub>0</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src= "img116.png" alt="$ \geq$" /> <i>deg</i> <i>p</i><sub>i</sub></span> pour  <span class="MATH"><i>i</i> = 1, <sup>...</sup> , <i>n</i><sub>1</sub></span> - avec égalité pour au moins un polynôme <span class="MATH"><i>p</i><sub>i</sub></span> - et  <span class="MATH"><i>deg</i>I>p</span><sub>0</sub> > <i>deg</i> <i>q</i><sub>i</sub> pour  <span class="MATH"><i>i</i> = 0, <sup>...</sup> , <i>n</i><sub>2</sub></span>) généralise celle des systèmes (fractionnaires) à retards : il existe <span class= "MATH"><i>a</i> < 0</span> tel que <span class= "MATH"><i>P</i></span> n'ait pas de pôles dans  <span class="MATH">(<b>C</b> <img width="8" height="25" align="middle" border="0" src="img119.png" alt= "$\displaystyle \setminus$" /> <b>R</b><sub>-</sub>) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src= "img120.png" alt="$\displaystyle \cap$" /> { <i>Res</i> > <i>a</i>} <img width="11" height="22" align="middle" border= "0" src="img121.png" alt="$\displaystyle \cup$" /> {0}</span>.</p> <p>Cette analyse de la BIBO-stabilité a ensuite permis la détermination de factorisations coprimes et facteurs de Bézout dans le cas de systèmes retardés (rappelons que le problème est encore ouvert pour des systèmes à retards neutres standards).</p> <p>Nous avons également donné quelques propriétés concernant la localisation des pôles ou la nucléarité de ces systèmes dans des cas particuliers.</p> <p>Nous considérons à présent la possibilité de réaliser de tels systèmes au moyen par exemple des réalisations diffusives introduites par G. Montseny [<a href= "bibliographie_Toc.html#Mon98" target="contents">Mon98</a>] et D. Matignon [<a href="bibliographie_ct.html#Mat98" target= "contents">Mat98</a>].</p> <h3><a name="SECTION00062300000000000000" id= "SECTION00062300000000000000">Une classe d'opérateurs d'hystérésis pseudo-différentiels</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Michel Sorine.<br /> <br /> <p>Nous avons défini avec Denis Matignon et Gérard Montseny une extension de la classe d'opérateurs d'hystérésis (<a href="fonde_Hysteresis_Toc.html#classe-hyst">4</a>) au cas des opérateurs pseudo-différentiels, voir [<a href= "bibliographie_Toc.html#Sorine-pseudodif2000" target= "contents">73</a>]. Nous avons pour cela utilisé une représentation diffusive de ces opérateurs [<a href= "bibliographie_Toc.html#Mon98" target= "contents">Mon98</a>,<a href="bibliographie_ct.html#Mat98" target="contents">Mat98</a>].</p> </body>