Projet : SYSDYS - sysdys

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html199" href= "resul_eds_mn.html#SECTION00051100000000000000" target= "main" id="tex2html199"><small>Représentation probabiliste des équations quasi-linéaires avec un opérateur sous forme divergence</small></a></li> <li><a name="tex2html200" href= "resul_eds_mn.html#SECTION00051200000000000000" target= "main" id="tex2html200"><small>Interprétation probabiliste d'une classe d'EDP semi-linéaires</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00051000000000000000" id= "SECTION00051000000000000000">Analyse stochastique</a></h2>  <a name="SYSDYS_resultats_eds" id="SYSDYS_resultats_eds"></a> <h3><a name="SECTION00051100000000000000" id= "SECTION00051100000000000000">Représentation probabiliste des équations quasi-linéaires avec un opérateur sous forme divergence</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), équations aux dérivées partielles (EDP) quasi-linéaires .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Antoine Lejay.<br /> <br /></p> <blockquote> <i>On s'intéresse à une représentation probabiliste des solutions d'EDP quasi-linéaires avec un opérateur sous forme divergence, dans un cadre où la représentation par les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades ne tient plus.</i> </blockquote> <p>Lorsque <span class="MATH"><i>L</i></span> est un opérateur différentiel du second-ordre, la solution <span class="MATH"><i>u</i></span> d'une EDP semi-linéaire de la forme</p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="10" height="24" align="middle" border="0" src="img1.png" alt="$\displaystyle \partial$" /><i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>) + <i>Lu</i>(<i>t</i>, <i>x</i>) + <i>h</i>(<i>t</i>, <i>x</i>, <i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>),<img width="14" height="23" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$\displaystyle \nabla$" /><i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>)) = 0 et <i>u</i>(<i>T</i>, <i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>)</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">1</span>)</td> </tr> </table> </div>peut être représentée à l'aide de l'EDSR <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><i>Y</i><sub>t</sub> = <i>g</i>(<i>X</i><sub>T</sub>) + <img width="22" height="44" align="middle" border="0" src="img3.png" alt="$\displaystyle \int_{t}^{T}$" /><i>h</i>(<i>s</i>, <i>X</i><sub>s</sub>, <i>Y</i><sub>s</sub>, <i>Z</i><sub>s</sub>)d<i>s</i> - <img width="22" height="44" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \int_{t}^{T}$" /><i>Z</i><sub>s</sub>d<i>M</i><sub>s</sub>,</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">2</span>)</td> </tr> </table> </div>où <span class="MATH"><i>X</i></span> est le processus stochastique engendré par <span class="MATH"><i>L</i></span> et <span class="MATH"><i>M</i></span> sa partie martingale, par la relation <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><i>Y</i><sub>0</sub> = <i>u</i>(<i>s</i>, <i>x</i>) si <i>X</i><sub>s</sub> = <i>x</i>.</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">3</span>)</td> </tr> </table> </div> <p>Dans le cas d'une équation quasi-linéaire du type</p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="14" height="24" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$\displaystyle \partial_{t}^{}$" /><i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>) + <img width="19" height="24" align="middle" border="0" src="img5.png" alt= "$\displaystyle \partial_{x_i}^{}$" />(<i>a</i><sub>i, j</sub>(<i>t</i>, <i>x</i>, <i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>),<img width="14" height="23" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$\displaystyle \nabla$" /><i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>))<img width="10" height="24" align="middle" border="0" src="img1.png" alt= "$\displaystyle \partial$" /><i>x</i><sub>j</sub>) + <i>h</i>(<i>t</i>, <i>x</i>, <i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>), <i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>)) = 0,</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">4</span>)</td> </tr> </table> </div>si <span class="MATH"><i>a</i></span> est dérivable alors la solution est donnée par la solution d'une équation différentielle progressive rétrograde (EDSPR), c'est-à-dire que l'équation différentielle stochastique (EDS) donnant le processus <span class="MATH"><i>X</i></span> fait elle-même intervenir les processus <span class="MATH"><i>Y</i></span> et <span class="MATH"><i>Z</i></span>. <p>Lorsque <span class="MATH"><i>a</i></span> n'est pas régulière et ne dépend pas de la solution, alors le processus <span class="MATH"><i>X</i></span> de générateur  <span class="MATH"><img width="20" height="24" align="middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \partial_{x_i}^{}$" />(<i>a</i><sub>i, j</sub><img width= "10" height="12" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt="$ \partial$" /><i>x</i><sub>j</sub>)</span> n'est pas en général solution d'une EDS. Ainsi, dans le cas d'une équation quasi-linéaire avec un coefficient non régulier, la représentation par les EDSPR n'est plus valable.</p> <p>En utilisant les résultats de [<a href= "bibliographie_Toc.html#lejay2000a" target= "contents">17</a>], il est toutefois possible de donner une certaine représentation, unique en un certain sens, de la solution <span class="MATH"><i>u</i></span> à l'aide des EDSR. Mais ces résultats requièrent <span class="textit">a priori</span> l'existence et l'unicité de la solutions des EDP.</p> <h3><a name="SECTION00051200000000000000" id= "SECTION00051200000000000000">Interprétation probabiliste d'une classe d'EDP semi-linéaires</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Processus de Dirichlet, opérateur sous forme divergence .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Etienne Pardoux.<br /> <br /></p> <blockquote> Il s'agit d'une collaboration avec Vlad Bally (Université Paris 6) et Lucre<img width="5" height="20" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="\normalsize{\c{t\/}}" />iu Stoica (Institut de Mathématiques, Bucarest). </blockquote> <p>V. Bally, Paris 6 et L. Stoica, Bucharest</p> <p>On donne une interprétation probabiliste d'une classe d'EDP semi-linéaires, où l'opérateur du second ordre est sous forme divergence, avec des coefficients peu réguliers. Le versant probabiliste de ce résultat combine les théories des EDSR et des processus de Dirichlet.</p> <p>Le but de ce travail est de donner un interprétation probabiliste de l'EDP semi-linéaire </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="20" height="41" align="middle" border="0" src= "img9.png" alt= "$\displaystyle {\frac{\partial u}{\partial t}}$" />(<i>t</i>, <i>x</i>) = <i>Au</i>(<i>t</i>, <i>x</i>) + <i>f</i> (<i>t</i>, <i>x</i>, <i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>),<img width="14" height="23" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$\displaystyle \nabla$" /><i>u</i>(<i>t</i>, <i>x</i>)), </div>avec une condition initiale en <span class= "MATH"><i>t</i> = 0</span>. Ici <span class= "MATH"><i>A</i></span> est un opérateur elliptique du second ordre sous forme divergence, avec des coefficients peu réguliers. La formule probabiliste pour la solution <span class="MATH"><i>u</i></span> fait intervenir une « équation différentielle stochastique rétrograde », dont le coefficient <span class="MATH"><i>f</i></span> et la condition finale sont fonction d'un processus markovien de Dirichlet, de générateur infinitésimal <span class= "MATH"><i>A</i></span>. Ce résultat généralise, au cas où le terme non linéaire dépend de <span class="MATH"><img width= "14" height="12" align="bottom" border="0" src="img10.png" alt="$ \nabla$" /><i>u</i></span>, un résultat obtenu par A. Lejay. </body>