Projet : SYSDYS - sysdys

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html229" href= "resul_identification_mn.html#SECTION00053100000000000000" target="main" id="tex2html229"><small>Filtrage non linéaire</small></a></li> <li><a name="tex2html230" href= "resul_identification_mn.html#SECTION00053200000000000000" target="main" id="tex2html230"><small>Calcul stochastique fractionnaire et applications statistiques</small></a></li> <li><a name="tex2html231" href= "resul_identification_mn.html#SECTION00053300000000000000" target="main" id="tex2html231"><small>Filtres approchés pour des systèmes avec bruits colorés</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00053000000000000000" id= "SECTION00053000000000000000">Identification et filtrage</a></h2> <a name="SYSDYS_resultats_identification" id= "SYSDYS_resultats_identification"></a> <h3><a name="SECTION00053100000000000000" id= "SECTION00053100000000000000">Filtrage non linéaire</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Filtrage non linéaire, grandes déviations .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Etienne Pardoux.<br /> <br /></p> <blockquote> Collaborateur extérieur O. Zeitouni (Haifa). </blockquote> <p>On étudie les grandes déviations en filtrage non linéaire unidimensionnel, avec petit bruit d'observation.</p> <p>On a repris les travaux de l'année antérieure. Une nouvelle approche, qui consiste à étudier globalement tous les termes ensemble, et à faire un changement adéquat de probabilité, donne un principe de grandes déviations avec une fonctionnelle qui cette fois a un sens intuitif.</p> <h3><a name="SECTION00053200000000000000" id= "SECTION00053200000000000000">Calcul stochastique fractionnaire et applications statistiques</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Mouvement brownien fractionnaire, statistique des processus stochastiques, filtrage optimal, formule de Girsanov, processus d'innovation, filtrage optimal, maximum de vraisemblance .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Marie-Christine Roubaud.<br /> <br /></p> <blockquote> Cette étude est effectuée en collaboration avec M.L. Kleptsyna (Université de Communication de Moscou) et A. Le Breton (LMC-Université Joseph Fourier). </blockquote> <p>Depuis ces dernières années un engouement croissant est suscité par la modélisation stochastique des phénomènes à <i>longue mémoire</i>. Ceci est justifié notamment par le fait que les phénomènes naturels ou économiques présentant des comportements dynamiques de ce type sont fréquents. Cependant, pour ces modèles, beaucoup de problèmes restent ouverts aussi bien du point de vue théorique que numérique.</p> <p>Le mouvement brownien fractionnaire (mBf), qui est une généralisation du mouvement brownien usuel, est un des processus les plus simples pour traduire la longue dépendance. En particulier, il apparaît très intéressant d'étendre la théorie classique des systèmes stochastiques gouvernés par des mouvements browniens usuels, aux systèmes gouvernés par des mouvements browniens fractionnaires. Plusieurs travaux ont déjà été faits dans ce sens pour des modèles plus ou moins spécifiques ( voir par exemple les travaux de Gripenberg et Norros[<a href= "bibliographie_Toc.html#gripenberg1996a" target= "contents">GN96</a>], Le Breton[<a href= "bibliographie_Toc.html#lebreton1998a" target= "contents">Bre98a</a>] [<a href= "bibliographie_ct.html#lebreton1998b" target= "contents">Bre98b</a>], Kleptsyna <i>et al.</i>[<a href= "bibliographie_Toc.html#kleptsyna1998a" target= "contents">KKA98</a>], Coutin et Decreusefond[<a href= "bibliographie_Toc.html#coutin1999a" target= "contents">CD99</a>]).</p> <p>C'est dans cette problématique que s'inscrit notre étude. La principale difficulté de ce travail réside dans le fait que le mBf n'est pas une semi-martingale et donc les résultats classiques d'intégration stochastique pour les semi-martingales ne peuvent s'appliquer tout au moins directement. En utilisant des outils assez sophistiqués tel que le calcul des variations stochastiques, une analyse stochastique du mBf a été développée par Decreusefond et Üstünel, mais il est difficile pour les non spécialistes d'en extraire des outils.</p> <p>L'approche que nous avons choisie est élémentaire. Nous considérons uniquement l'intégration des fonctions déterministes par rapport à un mBf ; ceci étant suffisant pour un grand nombre d'applications intéressantes. Nous avons complété l'approche élémentaire proposée par Norros <i>et al.</i> [<a href="bibliographie_Toc.html#norros1999a" target= "contents">NVV99</a>] dont l'idée de base est d'associer au mBf une martingale appropriée appelée <i>martingale fondamentale</i> par une transformation intégrale simple. L'analogue de la formule de Girsanov et des théorèmes de représentation ont été établis.</p> <p>Ces résultats ont été appliqués principalement à des problèmes de filtrage linéaire et non linéaire mais aussi à un problème statistique de base tel que l'estimation de paramètre. La méthode du maximum de vraisemblance a été utilisée pour résoudre un problème d'estimation de paramètre dans un modèle de régression linéaire avec un bruit brownien fractionnaire.</p> <p>Dans le cadre du filtrage optimal de systèmes linéaires et non linéaires les bruits de dynamique et d'observation sont représentés par des mouvements browniens fractionnaires. Dans le cas d'un système linéaire gaussien les équations du filtre ont été établies lorsque les paramètres de Hurst des mBfs appartiennent à <span class="MATH">(0, 1)</span>.</p> <p>Dans le cas non linéaire, la solution a été obtenue lorsque le signal est une variable aléatoire et dans le cas dit <i>semi-linéaire</i> où la non linéarité se situe uniquement dans l'équation de dynamique du signal qui est une diffusion.</p> <p>Cette étude a fait l'objet de trois articles acceptés dans des revues internationales [<a href= "bibliographie_Toc.html#kleptsynaxxxxa" target= "contents">6</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#kleptsynaxxxxb" target= "contents">7</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#lebretonxxxxa" target= "contents">8</a>].</p> <h3><a name="SECTION00053300000000000000" id= "SECTION00053300000000000000">Filtres approchés pour des systèmes avec bruits colorés</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Filtrage non linéaire, bruits colorés, filtres approchés, efficacité asymptotique .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participant :</span> Marie-Christine Roubaud.<br /> <br /></p> <blockquote> Collaboration avec A. Le Breton (LMC-Université Joseph Fourier). </blockquote> <p>Dans cette étude nous avons proposé des filtres approchés pour des systèmes stochastiques semi-linéaires et non linéaires avec des bruits colorés. Ces filtres sont définis comme étant identiques aux filtres optimaux lorsque les bruits sont blancs. Nous avons étudié leur comportement en temps long et montré leur efficacité asymptotique dans deux situations sous des hypothèses raisonnables. Dans le cas d'un système où la dynamique du signal et celle de l'observation sont linéaires, le filtre approché considéré est un filtre de Kalman et dans l'étude asymptotique une représentation du filtre optimal est donné. Cette formule étend à des systèmes avec bruits colorés celle connue pour des systèmes avec bruits blancs et condition initiale non gaussienne. Dans le cas d'un système non linéaire sous des hypothèses d'ergodicité, le filtre approché proposé correspond au filtre optimal du système initialisé avec une distribution erronée. Pour l'étude asymptotique nous avons utilisé les résultats d'Ocone et Pardoux sur la stabilité asymptotique du filtre optimal par rapport à la condition initiale[<a href= "bibliographie_Toc.html#ocone1996a" target= "contents">OP96</a>].</p> <p>Cette étude a fait l'objet d'un article à paraître [<a href="bibliographie_Toc.html#lebretonxxxxa" target= "contents">8</a>].</p> </body>