Projet : TEMICS - temics

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Modélisation 3<small>D</small> par géométrie projective</a></h2> <a name="TEMICS_fondements_mddd" id= "TEMICS_fondements_mddd"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>reconstruction 3D, vision par ordinateur, géométrie projective, projection perspective, modèle de caméra, équations de projection, auto-calibration, coordonnées homogènes, espace projectif, matrice fondamentale, matrice essentielle, contrainte épipolaire .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>La modélisation (ou reconstruction) 3<small>D</small> désigne l'estimation de la forme et de la position d'objets 3<small>D</small> à partir d'un ensemble d'images de ces objets. TEMICS s'intéresse plus particulièrement au problème de la modélisation de grandes scènes à partir de séquences vidéo monoculaires. De par sa nature, la modélisation 3<small>D</small> par géométrie projective est un problème inverse. Nous nous concentrons sur l'un des problèmes non résolus de la reconstruction 3<small>D</small> par géométrie projective, à savoir sur l'estimation des paramètres 3<small>D</small> de la caméra, rendue particulièrement délicate lorsque cette estimation doit se faire à partir de nombreux points de vue distants fournis par une caméra mobile. Nous nous intéressons également à la cohérence des observations entre les points de vue, à la gestion des parties cachées et des discontinuités de profondeur.</i> </div> <p>Les outils méthodologiques utilisés sont issus du domaine de la vision par ordinateur et de la géométrie projective. Les <i>équations de projection</i> pour une caméra  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \mathcal {C}$" /><sub>i</sub></span> modélisée par une <i>projection perspective</i> s'écrivent :</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="systmP" id="systmP"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$\displaystyle \tilde{p_i}$" /> = <i>P</i><sub>i</sub><img width="9" height="23" align= "middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \tilde{x}$" />,</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">1</span>)</td> </tr> </table> </div>où <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt= "$ \tilde{x}$" /></span> est un point 3<small>D</small> de coordonnées homogènes  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \tilde{x}$" /> = (<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1)<sup>t</sup></span> dans le repère de la scène  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \mathcal {R}$" /><sub>0</sub></span>, et où  <span class="MATH"><img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img6.png" alt="$ \tilde{p_i}$" /> = (<i>X</i><sub>i</sub> <i>Y</i><sub>i</sub> 1)<sup>t</sup></span> représente les coordonnées de son projeté dans le plan image <span class="MATH"><i>I</i><sub>i</sub></span>. La matrice <span class="MATH"><i>P</i><sub>i</sub></span> est la <i>matrice de projection</i> associée à la caméra  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \mathcal {C}$" /><sub>i</sub></span>. Elle s'exprime en fonction de la matrice <span class="MATH"><i>K</i></span> représentant les <i>paramètres intrinsèques</i> de la caméra, et en fonction des transformations (rotation <span class= "MATH"><i>R</i><sub>i</sub></span> et translation <span class="MATH"><i>t</i><sub>i</sub></span>) permettant de passer du repère de la scène  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \mathcal {R}$" /><sub>0</sub></span> au repère de la caméra  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \mathcal {R}$" /><sub>i</sub></span>, par l'équation : <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"><i>P</i><sub>i</sub> = <i>K</i>(<i>R</i><sub>i</sub>| <i>t</i><sub>i</sub>).</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">2</span>)</td> </tr> </table> </div>La matrice <span class="MATH"><i>K</i></span> des <i>paramètres intrinsèques</i> de la caméra est définie par :  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>K</i> = <img width="14" height="66" align="middle" border="0" src="img7.png" alt= "$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} \frac{f}{l_x} & \frac{-f}{l_x... ... X_c \ 0 & \frac{f}{l_y~sin \theta} & Y_c \ 0 & 0 & 1 \end{array}}\right.$" /> <img width="102" height="66" align="middle" border="0" src= "img8.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{ccc} \frac{f}{l_x} & \frac{-f}{l_x~tan\theta} & X_c \ 0 & \frac{f}{l_y~sin \theta} & Y_c \ 0 & 0 & 1 \end{array}$" /> <img width="14" height="66" align="middle" border="0" src= "img9.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} \frac{f}{l_x} & \frac{-f}{l_x... ... X_c \ 0 & \frac{f}{l_y~sin \theta} & Y_c \ 0 & 0 & 1 \end{array}}\right)$" /> , </div>où <span class="MATH"><i>f</i></span> est la <i>distance focale</i> de la caméra, et où <span class= "MATH"><i>l</i><sub>x</sub></span> et <span class= "MATH"><i>l</i><sub>y</sub></span> dénotent la taille en <span class="MATH"><i>x</i></span> et <span class= "MATH"><i>y</i></span> des pixels. Le terme <span class= "MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img10.png" alt="$ \theta$" /></span> représente l'angle entre les axes <span class="MATH"><i>x</i></span> et <span class="MATH"><i>y</i></span> du plan image, et <span class="MATH"><i>X</i><sub>c</sub></span> et <span class="MATH"><i>Y</i><sub>c</sub></span> sont les coordonnées de la projection perpendiculaire du centre optique dans le plan image. Les matrices de rotation <span class="MATH"><i>R</i><sub>i</sub></span> et de translation <span class="MATH"><i>t</i><sub>i</sub></span> définissent les <i>paramètres extrinsèques</i> associés à la caméra  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \mathcal {C}$" /><sub>i</sub></span>. <p>Les paramètres intrinsèques et extrinsèques, aussi appelés paramètres de prise de vue, sont obtenus par des opérations de calibration ou d'auto-calibration. La <i>calibration</i> consiste à estimer les paramètres de prise de vue à l'aide de mires (objets fournissant des points 3<small>D</small> connus), et d'images de ces mires. L' <i>auto-calibration</i> consiste à estimer les paramètres de prise de vue uniquement à partir de données des images, préalablement mises en correspondance par identification et regroupement des projetés d'un même point 3<small>D</small>. Plus précisément, si on suppose les paramètres intrinsèques constants et connus, les paramètres extrinsèques <span class= "MATH"><i>R</i><sub>i</sub></span> et <span class= "MATH"><i>t</i><sub>i</sub></span> peuvent être estimés comme suit. Le repère de la scène est choisi arbitrairement confondu avec le repère  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \mathcal {R}$" /><sub>1</sub></span>. Les matrices de rotation et de translation de la caméra  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \mathcal {C}$" /><sub>i</sub></span> sont donc celles qui font passer du repère  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \mathcal {R}$" /><sub>1</sub></span> au repère  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \mathcal {R}$" /><sub>i</sub></span> de l'image <span class="MATH"><i>I</i><sub>i</sub></span>. Pour estimer ces matrices, on définit la <i>matrice essentielle</i> <span class="MATH"><i>E</i> = <i>T</i><sub>i</sub>.<i>R</i><sub>i</sub></span> et la <i>matrice fondamentale</i>  <span class="MATH"><i>F</i> = <i>K</i><sup>-t</sup>.<i>E</i>.<i>K</i><sup>-1</sup></span>. La matrice <span class="MATH"><i>F</i></span> est elle-même estimée à partir d'un ensemble de points mis en correspondance entre les images <span class= "MATH"><i>I</i><sub>1</sub></span> et <span class= "MATH"><i>I</i><sub>i</sub></span>, par résolution du système formé de la <i>contrainte épipolaire</i> appliquée à chaque paire de points</p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap="nowrap"> <i>p</i><sub>1</sub><sup>t</sup>.<i>F</i>.<i>p</i><sub>i</sub> = 0.</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">3</span>)</td> </tr> </table> </div>La décomposition de <span class="MATH"><i>E</i></span> en valeurs singulières fait apparaître un produit de matrices qui permet de déduire la matrice de rotation <span class= "MATH"><i>R</i><sub>i</sub></span> et le vecteur de translation <span class="MATH"><i>t</i><sub>i</sub></span>. Résoudre le problème de reconstruction 3<small>D</small> revient alors à trouver  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \tilde{x}$" /></span> connaissant les  <span class="MATH"><img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img6.png" alt="$ \tilde{p_i}$" /></span>, c'est-à-dire résoudre le système d'équations (<a href= "fonde_mddd_Toc.html#systmP">1</a>) relativement aux coordonnées  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img4.png" alt="$ \tilde{x}$" /></span>. Comme toute résolution de problème inverse, la reconstruction 3<small>D</small> est très sensible aux erreurs de mesure. Sa résolution requiert une bonne précision des mesures faites dans l'image, ainsi qu'un choix judicieux des techniques d'optimisation numérique. </body>