Sous-sections
Participants : François Baccelli,
Bartek B
aszczyszyn, Florent Tournois.
Mots clés : modélisation spatiale,
processus ponctuel, géométrie stochastique, calcul de Palm,
processus de couverture, modèle booléen, mosaïque de Voronoi,
processus de Poisson, fermé aléatoire, analyse des
perturbations, communication sans fil, rapport signal sur
bruit, protocole CDMA .
L'article [16] porte sur la définition et l'analyse d'un
processus de couverture aléatoire sur l'espace euclidien de
dimension d, qui permet de
décrire un continuum allant du modèle booléen à la mosaïque
de Voronoi en passant par le modèle de Johnson-Mehl. Comme
pour le modèle booléen, les données minimales pour définir un
tel processus sont un processus ponctuel de Poisson sur cet
espace euclidien et une suite de variables aléatoires à
valeurs réelles. La cellule attachée à un point est définie
comme la région du plan, où l'effet de la marque de ce point
dépasse une fonction affine de l'effet cumulé de toutes les
marques du processus ponctuel. Cet effet cumulé est par
définition le processus de shot noise associé au
processus ponctuel.
Le continuum de processus de couverture est alors obtenu
en faisant varier les paramètres des marques. En plus de
l'analyse et de la visualisation de ce continuum (voir Figure
6.5.1),
Figure 1: Exemple de convergence de
couverture CDMA vers un modèle booléen.
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Plusieurs propriétés fondamentales de ce processus de
couverture sont étudiées, comme la probabilité de couverture
d'un point ou d'une paire de points par une cellule typique,
ou encore comme la distribution du nombre de cellules qui
couvrent un point donné. Sont aussi étudiées certaines
propriétés de convergence de ce processus au moyen du
formalisme des fermés aléatoires, et certaines questions de
différentiabilité par l'analyse des perturbations.
Ce modèle est issu des communications sans fil où
plusieurs antennes utilisent les mêmes canaux de fréquences,
ou encore des canaux sujets à des interférences, comme dans
le CDMA. Dans ce cadre, le domaine où une antenne donnée peut
être reçue est celui où le rapport signal sur bruit (ou
signal sur interférence) est plus grand qu'un certain seuil.
Les analyses mathématiques permettent de calculer certaines
caractéristiques d'intérêt pratique dans ce cadre, comme la
probabilité de non connexion; la loi du nombre de cellules
couvrant un point donné permet, quant à elle, de caractériser
certaines propriétés du handover.
Inspiré par l'algorithme de W. Kendall sur les simulations
conditionnelles du schéma booléen, F. Tournois a développé un
outil similaire pour le modèle de couverture CDMA. Un procédé
de remontée dans le temps et des méthodes d'encadrement sont
utilisés pour obtenir la simulation conditionnelle. Une
nouvelle fonction de transition est proposée, qui permet de
prendre en compte des conditions du type suivant: les points
xi sont couverts
au plus ni fois
et les points yi
sont couverts au moins mi fois. Une implémentation
de cet algorithme a été effectuée, et on sait donc construire
par simulation des réalisations de configurations vérifiant
ces conditions, à partir desquelles on peut par exemple
obtenir des statistiques sur certaines caractéristiques
géométriques du processus de couverture qui ne peuvent pas
être calculées de manière analytique.
Un agrégat dans un modèle booléen est un
ensemble maximum de grains se rencontrant. On cherche un
arbre dont les sommets sont les germes d'un agrégat et tel
que la somme des longueurs des arêtes soit minimale. B.
B
aszczyszyn et K. Tchoumatchenko (France
Télécom R&D), ont proposé une construction naturelle pour
un tel arbre et obtenu une borne sur la distribution de la
longueur totale des arètes de l'arbre. L'analyse utilise un
processus de branchement multi-types, similaire à ceux
considérés dans l'article [10]. La
longueur de l'arbre est bornée par une fonction aléatoire du
nombre total d'individus du processus de branchement, dont la
fonction génératrice est solution d'un système d'équations
fonctionnelles. Ceci permet d'obtenir la transformée de
Laplace de la variable aléatoire majorant la longueur totale
des arêtes de l'arbre.