Mots-clés :Algèbre max-plus, algèbre tropicale, systèmes à événements discrets, programmation dynamique, décision markovienne, contrôle optimal déterministe et stochastique, théorie des jeux, théorie des perturbations, théorie de Perron-Frobenius non linéaire, applications contractantes, analyse numérique, mathématiques discrètes, recherche opérationnelle.
Keywords: Max-plus algebra, Tropical algebra, Discrete event dynamic systems, Dynamic programming, Markov decision, Deterministic and Stochastic optimal control, Game theory, Perturbation theory, Nonlinear Perron-Frobenius theory, Nonexpansive maps, Numerical analysis, Discrete mathematics, Operations Research.
Le projet MAXPLUS développe la théorie, l'algorithmique, et les applications des algèbres de type max-plus ou tropicale, en relation avec les domaines où celles-ci interviennent: théorie de la décision (commande optimale déterministe et stochastique et théorie des jeux), analyse asymptotique et théorie des probabilités, modélisation et évaluation de performance de systèmes à événements discrets (réseaux de transport ou de télécom, systèmes de production), et plus généralement, recherche opérationnelle. On peut distinguer les axes de recherche suivants.
Commande optimale et théorie des jeuxOn s'intéresse aux problèmes de décision dans le temps. Nous étudions les propriétés théoriques des équations de la programmation dynamique et nous développons des algorithmes pour les résoudre. Les opérateurs de la programmation dynamique à temps discret peuvent être vus comme des cas particuliers de systèmes dynamiques monotones ou contractants, ou d'opérateurs de Perron-Frobenius non-linéaires. Nous étudions les points fixes (qui donnent la valeur de problèmes de décision en horizon infini), les vecteurs propres non linéaires (qui apparaissent dans les problèmes de décision avec critère ergodique), et le comportement asymptotique des orbites de tels opérateurs. Nous étudions aussi les équations aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi-Bellman, lesquelles sont des équations de la programmation dynamique à temps continu. Notre but est de développer de nouveaux algorithmes et méthodes de discrétisation, à partir des résultats max-plus et de leurs généralisations. On s'intéresse plus particulièrement aux problèmes de grande taille, qui nécessitent le développement d'algorithmes rapides (algorithmes de graphe) ou de nouvelles approximations.
Systèmes à événements discretsOn s'intéresse à l'analyse (évaluation de performance), à l'optimisation, et à la commande, de systèmes dynamiques à événements discrets, qui apparaissent dans la modélisation de réseaux (routiers, ferroviaires, télécom) et en productique. On développe des modèles basés sur les systèmes dynamiques max-plus linéaires et leurs généralisations (automates, systèmes monotones ou contractants), permettant de représenter des phénomènes de synchronisation ou de concurrence (partage de ressources). On s'intéresse en particulier : au calcul ou à la maximisation de certaines mesures de performances; à la fabrication de contrôleurs (ou même de ``feedbacks'') vérifiant certaines contraintes de sécurité ou de service.
Théorie des perturbationsOn étudie les problèmes asymptotiques dont les équations limites ont une structure de type max-plus, tels les perturbations singulières de valeurs propres ou les grandes déviations. On s'intéresse en particulier aux problèmes singuliers pour lesquels les résultats analytiques ou les méthodes numériques ont besoin d'être améliorés.
Recherche opérationnelleLe rôle de l'algèbre max-plus dans certains problèmes de recherche opérationnelle est maintenant bien connu (programmation dynamique, problèmes de chemins, d'affectation ou de transport, certains problèmes d'ordonnancement, problèmes avec des contraintes dijunctives). Notre but est de développer plus avant les méthodes algébriques en recherche opérationnelle.
Algèbre max-plus et domaines reliésLe groupe Maxplus travaille depuis de nombreuses années sur l'algèbre max-plus de base : analogues max-plus des modules et des polyèdres convexes, des déterminants, des notions de rang, des systèmes d'équations linéaires, des vecteurs propres, des équations polynomiales, mesures idempotentes, etc., qui ont souvent joué un rôle décisif dans nos applications précédentes de l'approche max-plus. L'intérêt pour certains problèmes de base max-plus est récemment apparu dans plusieurs autres domaines des mathématiques. Un de nos objectifs est de poursuivre l'étude de problèmes de base max-plus.
LogicielLa boîte à outils max-plus de Scilab implémente le calcul de base max-plus ainsi que quelques algorithmes rapides de résolution de problèmes particuliers. On s'intéresse à développer de tels outils.
English version
The Maxplus project develops theory, algorithms, and applications of algebras of max-plus or tropical type, in relation with the fields where these algebras arise: decision theory (deterministic and stochastic optimal control and game theory), asymptotic analysis and probability theory, modelling and performance analysis of discrete event dynamic systems (transportation or telecommunication networks, manufacturing systems), and Operations Research. The following research topics are particularly developped.
Optimal control and game theoryWe are interested in decision problems over time. We study the theoretical properties of dynamic programming equations and develop algorithms to solve them. We view discrete time dynamic programming operators as particular cases of monotone or non-expansive dynamical systems, or non-linear Perron-Frobenius operators. We study fixed points (arising in decision problems in infinite horizon), non-linear eigenvectors (arising in problems with ergodic reward), and the asymptotic behaviour of orbits (asymptotics of the value function as the horizon tends to infinity). We also study Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential equations, which are continuous time versions of dynamic programming equations. Our aim is to develop new algorithms and discretisations methods, exploiting the max-plus results and their generalisations. We are particularly interested in large size problems, which require to develop fast (graph-type) algorithms or new approximation methods.
Discrete event systemsWe are interested in analysis (performance evaluation) and control problems for dynamic discrete event systems, which arise in the transportation or telecommunication networks or in manufacturing systems. We develop models based on max-plus linear dynamical systems and their generalisations (automata models, nonexpansive or monotone systems), which represent both synchronisation and concurrency (resource sharing) phenomena. Problems of interest include: computing or maximising some performance measures, like the throughput; designing controls (if possible, feedbacks) that ensure given security or service specifications.
Perturbation theoryWe study asymptotic problems, like problems of singular perturbations of eigenvalues or large deviation type problems, which are governed by limiting equations having a max-plus type structure. We are particularly interested in singular problems, for which analytical results or numerical methods must be precised or improved.
Operations ResearchThe role of max-plus algebra in some special problems of Operations Research is now well known (dynamic programming, path problems, assignment or transportation problems, certain special scheduling problems, problems with disjunctive constraints). Our goal is to develop further algebraic tools in Operations Research.
Max-plus algebra and related fieldsThe Maxplus team has worked for several years on basic max-plus algebraic objects and constructions, like max-plus analogues of modules and convex polyhedra, max-plus determinants, rank notions, systems of linear equations, max-plus eigenvectors, max-plus polynomial equations, idempotent measures, etc., which often played a decisive role in our earlier applications of the max-plus approach. There is now a growing interest in certain basic max-plus problems which have recently appeared in several other fields. One objective is to pursue the study of basic max-plus problems.
SoftwareThe max-plus toolbox of Scilab implements the basic numerical calculus in max-plus algebra, as well as some fast algorithms for specific problems. The extension of this toolbox is one of our goals.
Le semi-corps
max-plusest l'ensemble
, muni de l'addition
et de la multiplication
. Cette structure algébrique diffère des structures de corps classiques par le fait que l'addition n'est pas une loi de groupe, mais est idempotente:
aa=
a. On rencontre parfois des variantes de cette structure: par exemple, le semi-corps
min-plusest l'ensemble
muni des lois
ab= min(
a,
b)et
ab=
a+
b, et le semi-anneau
tropicalest l'ensemble
munis des mêmes lois. L'on peut se poser la question de généraliser les constructions de l'algèbre et de l'analyse classique, qui reposent pour une bonne part sur des anneaux ou des
corps tels que
ou
, au cas de semi-anneaux de type max-plus: tel est l'objet de ce qu'on appelle un peu familièrement ``l'algèbre max-plus''.
Il est impossible ici de donner une vue complète du domaine. Nous nous bornerons à indiquer quelques références bibliographiques. L'intérêt pour les structures de type max-plus est contemporain de la naissance de la théorie des treillis . Depuis, les structures de type max-plus ont été développées indépendamment par plusieurs écoles, en relation avec plusieurs domaines. Les motivations venant de la Recherche Opérationnelle (programmation dynamique, problèmes de plus court chemin, problèmes d'ordonnancement, optimisation discrète) ont été centrales dans le développement du domaine , , , , . Les semi-anneaux de type max-plus sont bien sûr reliés aux algèbres de Boole . L'algèbre max-plus apparaît de manière naturelle en contrôle optimal et dans la théorie des équations aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi , , , , , , , , , . Elle apparaît aussi en analyse asymptotique (asymptotiques de type WKB , , , grandes déviations , asymptotiques à température nulle en physique statistique ), puisque l'algèbre max-plus apparaît comme limite de l'algèbre usuelle. La théorie des opérateurs linéaires max-plus peut être vue comme faisant partie de la théorie des opérateurs de Perron-Frobenius non-linéaires, ou de la théorie des applications contractantes ou monotones sur les cônes , , , , laquelle a de nombreuse motivations, telles l'économie mathématique , et la théorie des jeux , . Dans la communauté des systèmes à événements discrets, l'algèbre max-plus a été beaucoup étudiée parce qu'elle permet de représenter de manière linéaire les phénomènes de synchronisation, lesquels déterminent le comportement temporel de systèmes de production ou de réseaux, voir . Parmi les développements récents du domaine, on peut citer le calcul des réseaux , , qui permet de calculer des bornes pire des cas de certaines mesures de qualité de service. En informatique théorique, l'algèbre max-plus (ou plutôt le semi-anneau tropical) a joué un rôle décisif dans la résolution de problèmes de décision en théorie des automates , , , , . Notons finalement, pour information, que l'algèbre max-plus est apparue récemment en géométrie algébrique , , , et en théorie des représentations , , sous les noms de géométrie et combinatoire tropicales.
Nous décrivons maintenant de manière plus détaillée les sujets qui relèvent directement des intérêts du projet, comme la commande optimale, les asymptotiques, et les systèmes à événements discrets.
English version
The
max-plussemifield is the set
, equipped with the addition
and the multiplication
. This algebraic structure differs from classical structures, like fields, in that addition is idempotent:
aa=
a. Several variants have appeared in the literature: for instance, the
min-plussemifield is the set
equipped with the laws
ab= min(
a,
b)and
ab=
a+
b, and the
tropicalsemiring is the set
equipped with the same laws. One can ask the question of extending to max-plus type structures the classical constructions and results of algebra and analysis: this is what is often
called in a wide sense ``max-plus algebra'' or ``tropical algebra''.
It is impossible to give in this short space a fair view of the field. Let us, however, give a few references. The interest in max-plus type structures is contemporaneous with the early developments of lattice theory . Since that time, max-plus structures have been developed independently by several schools, in relation with several fields. Motivations from Operations Research (dynamic programming, shortest path problems, scheduling problems, discrete optimisation) were central in the development of the field , , , , . Of course, max-plus type semirings are related to Boolean algebras . Max-plus algebras arises naturally in optimal control and in the theory of Hamilton-Jacobi partial differential equations , , , , , , , , , . It arises in asymptotic analysis (WKB asymptotics , , , large deviation asymptotics , or zero temperature asymptotics in statistical physics ), since max-plus algebra appears as a limit of the usual algebra. The theory of max-plus linear operators may be thought of as a part of the non-linear Perron-Frobenius theory, or of the theory of nonexpansive or monotone operators on cones , , , , a theory with numerous motivations, including mathematical economy and game theory , . In the discrete event systems community, max-plus algebra has been much studied since it allows one to represent linearly the synchronisation phenomena which determine the time behaviour of manufacturing systems and networks, see . Recent developments include the network calculus of , which allows one to compute worst case bounds for certain measures of quality of service. In theoretical computer science, max-plus algebra (or rather, the tropical semiring) played a key role in the solution of decision problems in automata theory , , , , . We finally note for information that max-plus algebra has recently arisen in algebraic geometry , , , and in representation theory , , under the names of tropical geometry and combinatorics.
We now describe in more details some parts of the subject directly related to our interests, like optimal control, asymptotics, and discrete event systems.
L'exemple le plus simple d'un problème conduisant à une équation min-plus linéaire est le problème classique du plus court chemin. Considérons un graphe dont les nœuds sont numérotés de 1 à
net dont le coût de l'arc allant du nœud
iau nœud
jest noté
. Le coût minimal d'un chemin de longueur
k, allant de
ià
j, est donné par la quantité:
où le minimum est pris sur tous les chemins
= (
0, ...,
k)de longueur
k, de nœud initial
0=
iet de nœud final
k=
j. L'équation classique de la programmation dynamique s'écrit:
On reconnaît ainsi une équation linéaire min-plus :
v(
k) =
Mv(
k-1) ,
où on note par la concaténation le produit matriciel induit par la structure de l'algèbre min-plus. Le classique problème de Lagrangedu calcul des variations,
où
, pour
0
t
T, et
est le Lagrangien, peut être vu comme une version continue de (
), ce qui permet de voir l'équation d'Hamilton-Jacobi que
vérifie
v,
comme une équation min-plus linéaire. En particulier, les solutions de (
) vérifient un principe de superposition min-plus: si
vet
wsont deux solutions, et si
,
inf(
+
v,
+
w)est encore solution de (
). Ce point de vue, inauguré par Maslov, a conduit au
développement de l'école d'Analyse Idempotente (voir
,
,
).
La présence d'une structure algébrique sous-jacente permet de voir les solutions stationnaires de (
) et (
) comme des vecteurs propres de la matrice
Mou du semi-groupe d'évolution de l'équation d'Hamilton-Jacobi. La valeur propre associée fournit le coût moyen par unité de temps (coût ergodique). La représentation des
vecteurs propres (voir
,
,
,
,
,
,
pour la dimension finie, et
,
pour la dimension infinie) est intimement liée
au théorème de l'autoroute qui décrit les trajectoires optimales quand la durée ou la longueur des chemins tend vers l'infini. Pour l'équation d'Hamilton-Jacobi, des résultats reliés sont
apparus récemment en théorie d'``Aubry-Mather''
.
English version
The most elementary example of a problem leading to a min-plus linear equation is the classical shortest path problem. Consider a graph with nodes
1, ...,
n, and let
denote the cost of the arc from node
ito node
j. The minimal cost of a path of a given length,
k, from
ito
j, is given by (
), where the minimum is taken over all paths
= (
0, ...,
k)of length
k, with initial node
0=
iand final node
k=
j. The classical dynamic programming equation can be written as in (
). We recognise the min-plus linear equation (
), where concatenation denotes the matrix product induced
by the min-plus algebraic structure. The classical
Lagrange problemof calculus of variations, given by (
) where
, for
0
t
T, and
is the Lagrangian, may be thought of as a continuous version of (
), which allows us to see the Hamilton-Jacobi
equation (
) satisfied by
v, as a min-plus linear equation. In particular, the solutions of (
) satisfy a min-plus superposition principle: if
vand
ware two solutions, and if
, then
inf(
+
v,
+
w)is also a solution of (
). This point of view, due to Maslov, led to the
developpement of the school of Idempotent Analysis (see
,
,
).
The underlying algebraic structure allows one to see stationnary solutions of (
) and (
) as eigenvectors of the matrix
Mor of the evolution semigroup of the Hamilton-Jacobi equation. The associated eigenvalue gives the average cost per time unit (ergodic cost). The representation of
eigenvectors (see
,
,
,
,
,
,
for the finite dimension case, and
,
for the infinite dimension case) is intimately
related to turnpike theorems, which describe optimal trajectories as the horizon, or path length, tends to infinity. For the Hamilton-Jacobi equation, related results have appeared recently in
the ``Aubry-Mather'' theory
.
On sait depuis le tout début des travaux en décision markovienne que les opérateurs de la programmation dynamique
fde problèmes de contrôle optimal ou de jeux (à somme nulle et deux joueurs), avec critère additif, ont les propriétés suivantes :
Ici, l'opérateur
fest une application d'un certain espace de fonctions à valeurs réelles dans lui-même,
désigne l'ordre partiel usuel, et
désigne la norme sup. Dans le cas le plus simple, l'ensemble des états est
{1, ...,
n}et
fest une application de
dans lui-même. Les applications monotones qui sont contractantes pour la norme du sup peuvent être vues comme des généralisations non-linéaires des matrices sous-stochastiques. Une
sous-classe utile, généralisant les matrices stochastiques, est formée des applications qui sont monotones et commutent avec l'addition d'une constante
(celles ci sont parfois appelées fonctions
topicales). Les problèmes de programmation dynamique peuvent être traduits en termes d'opérateurs : l'équation de la programmation dynamique d'un problème de commande optimale à horizon
fini s'écrit en effet
x(
k) =
f(
x(
k-1)), où
x(
k)est la fonction valeur en horizon
ket
x(0)est donné; la fonction valeur
yd'un problème à horizon infini (y compris le cas d'un problème d'arrêt optimal) vérifie
y=
f(
y); la fonction valeur
zd'un problème avec facteur d'actualisation
0<
<1vérifie
z=
f(
z), etc. Ce point de vue abstrait a été très fructueux, voir par exemple
. Il permet d'inclure la programmation
dynamique dans la perspective plus large de la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire, qui, depuis l'extension du théorème de Perron-Frobenius par Krein et Rutman, traite des applications non
linéaires sur des cônes vérifiant des conditions de monotonie, de contraction ou d'homogénéité. Les problèmes auxquels on s'intéresse typiquement sont la structure de l'ensemble des points
fixes de
f, le comportement asymptotique de
fk, en particulier l'existence de la limite de
fk(
x)/
klorsque
ktends vers l'infini (afin d'obtenir le coût ergodique d'un problème de contrôle optimal ou de jeux), l'asymptotique plus précise de
fk, à une normalisation près (afin d'obtenir le comportement précis de l'itération sur les valeurs), etc. Nous renvoyons le lecteur à
pour un panorama. Signalons que dans
,
, des algorithmes inspirés de l'algorithme
classique d'itérations sur les politiques du contrôle stochastique ont pu être introduits dans le cas des opérateurs monotones contractants généraux, en utilisant des résultats de structure de
l'ensemble des points fixes de ces opérateurs. Les applications de la théorie des applications monotones contractantes ne se limitent pas au contrôle optimal et aux jeux. En particulier, on
utilise la même classe d'applications dans la modélisation des systèmes à événements discrets, voir le §
ci-dessous, et une classe semblable d'applications en
analyse statique de programmes, voir le §
ci-dessous.
English version
Since the very beginning of Markov decision theory, it has been observed that dynamic programming operators
farising in optimal control or (zero-sum, two player) game problems have Properties (
). Here, the operator
fis a self-map of a certain space of real valued functions, equipped with the standard ordering
and with the sup-norm
. In the simplest case, the set of states is
{1, ...,
n}, and
fis a self-map of
. Monotone maps that are nonexpansive in the sup norm may be thought of as nonlinear generalisations of substochastic matrices. A useful subclass, which generalises stochastic matrices,
consists of those maps which are monotone and commute with the addition of a constant
(these maps are sometimes called topical
functions). Dynamic programming problems can be translated in operator terms: the dynamic programming equation for a finite horizon problem can be written as
x(
k) =
f(
x(
k-1)), where
x(
k)is the value function in horizon
kand
x(0)is given; the value function
yof a problem with an infinite horizon (including the case of optimal stopping) satisfies
y=
f(
y); the value function
zof a problem with discount factor
0<
<1satisfies
z=
f(
z), etc. This abstract point of view has been very fruitful, see for instance
. It allows one to put dynamic programming in
the wider perspective of nonlinear Perron-Frobenius theory, which, after the extension of the Perron-Frobenius theorem by Krein and Rutman, studies non-linear self-maps of cones, satisfying
various monotonicity, nonexpansiveness, and homogeneity conditions. Typical problems of interests are the structure of the fixed point set of
f, the asymptotic behaviour of
fk, including the existence of the limit of
fk(
x)/
kas
ktends to infinity (which yields the ergodic cost in control or games problems), the finer asymptotic behaviour of
fk, possibly up to a normalisation (which yields precise results on value iteration), etc. We shall not attempt to survey this theory here, and will only refer the reader to
for more background. In
,
, algorithms inspired from the classical
policy iterations algorithm of stochastic control have been introduced for general monotone nonexpansive operators, using structural results for the fixed point set of these operators.
Applications of monotone or nonexpansive maps are not limited to optimal control and game theory. In particular, we also use the same class of maps as models of discrete event dynamics systems,
see §
below, and we shall see in §
that related classes of maps are useful in the static
analysis of computer programs.
Un autre point de vue sur la commande optimale est la théorie des processus de Bellman , , , , , qui fournit un analogue max-plus de la théorie des probabilités. Cette théorie a été développée à partir de la notion de mesure idempotenteintroduite par Maslov . Elle établit une correspondance entre probabilités et optimisation, dans laquelle les variables aléatoires deviennent des variables de coût (qui permettent de paramétriser les problèmes d'optimisation), la notion d'espérance conditionnelle est remplacée par celle de coût conditionnel (pris sur un ensemble de solutions faisables), la propriété de Markov correspond au principe de la programmation dynamique de Bellman, et la convergence faible à une convergence de type épigraphe. Les théorèmes limites pour les processus de Bellman (loi des grands nombres, théorème de la limite centrale, lois stables) fournissent des résultats asymptotiques en commande optimale. Ces résultats généraux permettent en particulier de comprendre qualitativement les difficultés d'approximation des solutions d'équations d'Hamilton-Jacobi, voir le § ci-dessous.
English version
Another point of view on optimal control is the theory of Bellman processes , , , , which provides a max-plus analogue of probability theory, relying on the theory of idempotent measuresdue to Maslov . This establishes a correspondence between probability and optimisation, in which random variables become cost variables (which allow to parametrise optimisation problems), the notion of conditional expectation is replaced by a notion of conditional cost (taken over a subset of feasible solutions), the Markov property corresponds to the Bellman's dynamic programming principle, and weak convergence corresponds to an epigraph-type convergence. Limit theorems for Bellman processes (law of large numbers, central limit theorems, stable laws) yield asymptotic results in optimal control. Such general results help in particular to understand qualitatively the difficulty of approximation of Hamilton-Jacobi equations, see § below.
Des systèmes dynamiques max-plus linéaires, de type (
), interviennent aussi, avec une interprétation toute
différente, dans la modélisation des systèmes à événements discrets. Dans ce contexte, on associe à chaque tâche répétitive,
i, une fonction
compteur,
, telle que
vi(
t)compte le nombre cumulé d'occurrences de la tâche
ijusqu'à l'instant
t. Par exemple, dans un système de production,
vi(
t)compte le nombre de pièces d'un certain type produites jusqu'à l'instant
t. Dans le cas le plus simple, qui dans le langage des réseaux de Petri, correspond à la sous-classe très étudiée des graphes d'événements temporisés
, on obtient des équations min-plus linéaires
analogues à (
). Cette observation, ou plutôt, l'observation duale
faisant intervenir des fonctions dateurs, a été le point de départ
de l'approche max-plus des systèmes à
événements discrets
, qui fournit un analogue max-plus de la
théorie des systèmes linéaires classiques, incluant les notions de représentation d'état, de stabilité, de séries de transfert, etc. En particulier, les valeurs propres fournissent des mesures
de performance telles que le taux de production. Des généralisations non-linéaires, telles que les systèmes dynamiques min-max
,
, ont aussi été étudiées. Les systèmes
dynamiques max-plus linéaires aléatoires sont particulièrement utiles dans la modélisation des réseaux
. Les modèles d'automates à multiplicités
max-plus
, incluant certains versions temporisées des
modèles de traces ou de tas de pièces
, permettent de représenter des phénomènes de
concurrence ou de partage de ressources. Les automates à multiplicités max-plus on été très étudiés par ailleurs en informatique théorique
,
,
,
,
,
. Ils fournissent des modèles particulièrement
adaptés à l'analyse de problèmes d'ordonnancement
.
English version
Dynamical systems of type (
) also arise, with a different interpretation, in the
modelling of discrete event systems. In this context, one associates to every repetitive task,
i, a counter function,
, such that
vi(
t)gives the total number of occurrences of task
iup to time
t. For instance, in a manufacturing system,
vi(
t)will count the number of parts of a given type produced up to time
t. In the simplest case, which, in the vocabulary of Petri nets, corresponds to the much studied subclass of timed event graphs
, we get min-plus linear equations similar
to (
). This observation, or rather, the dual observation
concerning dater functions, was the starting point
of the max-plus approach of discrete event
systems
, which provides some analogue of the
classical linear control theory, including notions of state space representations, stability, transfer series, etc. In particular, eigenvalues yield performance measures like the throughput.
Nonlinear generalisations, like min-max dynamical systems
,
, have been particularly studied. Random
max-plus linear dynamical systems are particularly useful in the modelling of networks
. Max-plus automata models
, which include some timed version of trace or
heaps of pieces models
, allow to represent phenomena of concurrency
or resource sharing. Note that max-plus automata have been much studied in theoretical computer science
,
,
,
,
,
. Such automata models are particularly
adapted to the analysis of scheduling problems
.
Une bonne partie des résultats de l'algèbre max-plus concerne l'étude des systèmes d'équations linéaires. On peut distinguer trois familles d'équations, qui sont traitées par des techniques
différentes : 1) Nous avons déjà évoqué dans les sections
et
le problème spectral max-plus
Ax=
xet ses généralisations. Celui-ci apparaît en contrôle optimal déterministe et dans l'analyse des systèmes à événements discrets. 2) Le problème
Ax=
bintervient en commande juste-à-temps (dans ce contexte, le vecteur
xreprésente les dates de démarrage des tâches initiales,
breprésente certaines dates limites, et on se contente souvent de l'inégalité
Axb). Le problème
Ax=
best intimement lié au problème d'affectation optimale, et plus généralement au problème de transport optimal. Il se traite via la théorie des correspondances de
Galois abstraites, ou théorie de la résiduation
,
,
,
,
. Les versions dimension infinie du problème
Ax=
bsont reliées aux questions d'analyse convexe abstraite
,
,
et de dualité non convexe. 3) Le problème
linéaire général
Ax=
Bxconduit à des développements combinatoires intéressants (polyèdres max-plus, déterminants max-plus, symétrisation
,
,
). Le sujet fait l'objet d'un intérêt
récemment renouvelé
.
English version
An important class of results in max-plus algebra concerns the study of max-plus linear equations. One can distinguish three families of equations, which are handled
using different techniques: 1) We already mentioned in sections
and
the max-plus spectral problem
Ax=
xand its generalisations, which appears in deterministic optimal control and in performance analysis of discrete event systems. 2) The
Ax=
bproblem arises naturally in just in time problems (in this context, the vector
xrepresents the starting times of initial tasks,
brepresents some deadlines, and one is often content with the inequality
Axb). The
Ax=
bproblem is intimately related with optimal assignment, and more generally, with optimal transportation problems. Its theory relies on abstract Galois correspondences,
or residuation theory
,
,
,
,
. Infinite dimensional versions of the
Ax=
bproblem are related to questions of abstract convex analysis
,
,
and nonconvex duality. 3) The general linear
system
Ax=
Bxleads to interesting combinatorial developments (max-plus polyedra, determinants, symmetrisation
,
,
). The subject has attracted recently a new
attention
.
Le rôle de l'algèbre min-plus dans les problèmes asymptotiques est évident si l'on écrit
lorsque 0 +. L'algèbre min-plus peut être vue comme la limite d'une déformation de l'algèbre classique, en introduisant le semi-anneau , qui est l'ensemble , muni de l'addition et de la multiplication . Pour tout >0, est isomorphe au semi-corps usuel des réels positifs, , mais pour = 0 +, n'est autre que le semi-anneau min-plus. Cette idée a été introduite par Maslov , motivé par l'étude des asymptotiques de type WKB d'équations de Schrödinger. Ce point de vue permet d'utiliser des résultats algébriques pour résoudre des problèmes d'asymptotiques, puisque les équations limites ont souvent un caractère min-plus linéaire.
La même déformation apparaît classiquement en théorie des grandes déviations à la loi des grands nombres : dans ce contexte, les objets limites sont des mesures idempotentes au sens de Maslov. Voir , pour les relations entre l'algèbre max-plus et les grandes déviations. Voir aussi , , pour des applications de ces idées aux perturbations singulières de valeurs propres.
English version
The role of min-plus algebra in asymptotic problems becomes obvious when writing Equations ( ) when 0 +. Formally, min-plus algebra may be thought of as the limit of a deformation of classical algebra, by introducing the semi-field , which is the set , equipped with the addition and the multiplication . For all >0, is isomorphic to the semi-field of usual real positive numbers, , but for = 0 +, coincides with the min-plus semiring. This idea was introduced by Maslov , motivated by the study of WKB-type asymptotics of Schrödinger equations. This point of view allows one to use algebraic results in asymptotics problems, since the limit equations have often some kind of min-plus linear structure.
The same deformation appears classically in large deviation theory: in this context, the limiting objects are idempotent measures, in the sense of Maslov. See , for the relation between max-plus algebra and large deviations. See also , , for the application of such ideas to singular perturbation problems for matrix eigenvalues.
Une partie importante des applications de l'algèbre max-plus provient des systèmes dynamiques à événements discrets . Les systèmes linéaires max-plus, et plus généralement les systèmes dynamiques monotones contractants, fournissent des modèles naturels dont les résultats analytiques peuvent être appliqués aux problèmes d'évaluation de performance. Relèvent de l'approche max-plus, tout au moins sous forme simplifiée : des problèmes de calcul de temps de cycle pour des circuits digitaux , des problèmes de calcul de débit pour des ateliers , pour des réseaux ferroviaires ou routiers, et l'évaluation de performance des réseaux de communication . L'approche max-plus a été appliquée à l'analyse du comportement temporel de systèmes concurrents, et en particulier à l'analyse de ``high level sequence message charts'' , . Le projet Maxplus collabore avec le projet Metalau, qui étudie particulièrement les applications des modèles max-plus à la modélisation microscopique du trafic routier , , .
English version
One important part of applications of max-plus algebra comes from discrete event dynamical systems . Max-plus linear systems, and more generally, monotone nonexpansive dynamical systems, provide natural models for which many analytical results can be applied to performance evaluation problems. For instance, problems like computing the cycle time of asynchronous digital circuits , or computing the throughput of a workshop or of a transportation network, and performance evaluation problems for communication networks, are often amenable to max-plus algebra, at least in some simplified form, see in particular and . The max-plus approach has been applied to the analysis of the time behaviour of concurrent systems, and in particular, to the analysis of high level sequence message charts , . The Maxplus team collaborates with the Metalau team, working particularly on the applications of max-plus models to the microscopic modelling of road traffic , , .
La commande optimale et la théorie des jeux ont de nombreuses applications bien répertoriées: économie, finance, gestion de stock, optimisation des réseaux, aide à la décision, etc. En particulier, le projet Mathfi travaille sur les applications à des problèmes de mathématiques financières. Il existe une tradition de collaborations entre les chercheurs des projets Mathfi et Maxplus sur ces questions, voir par exemple qui comprend un résultat exploitant des idées de théorie spectrale non-linéaire, présentées dans .
English version
Optimal control and game theory have numerous well established applications fiels: mathematical economy and finance, stock optimization, optimization of networks, decision making, etc. In particular, the Mathfi team works on applications in mathematical finance. There is a tradition of collaboration between researchers of the Maxplus team and of the Mathfi team on these questions, see as an illustration where ideas from the spectral theory of monotone homogeneous maps are applied.
L'algèbre max-plus intervient de plusieurs manières en Recherche opérationnelle. Premièrement, il existe des liens profonds entre l'algèbre max-plus et les problèmes d'optimisation discrète, voir . Ces liens conduisent parfois à de nouveaux algorithmes pour les problèmes de recherche opérationnelle classiques, comme le problème de circuit de poids moyen maximum . Certains problèmes combinatoires, comme des problèmes de programmation disjonctive, peuvent être décomposés par des méthodes de type max-plus . Ensuite, le rôle de l'algèbre max-plus dans les problèmes d'ordonnancement est bien connu depuis les années 60, les dates de complétion pouvant souvent être calculées à partir d'équations linéaires max-plus. Plus récemment, des représentations de problèmes d'ordonnancement ont pu être obtenues à partir de semi-groupes de matrices max-plus : une première représentation a été obtenue dans pour le cas du ``jobshop'', une représentation plus simple a été obtenue dans dans le cas du ``flowshop''. Ce point de vue algébrique a été très utile dans le cas du ``flowshop'' : il permet de retrouver des résultats anciens de dominance et d'obtenir ainsi de nouvelles bornes . Finalement, en regardant l'algèbre max-plus comme une limite de l'algèbre classique, on peut utiliser des outils algébriques en optimisation combinatoire .
English version
Max-plus algebra arise in several ways in Operations Research. First, there are intimate relations between max-plus algebra and discrete optimisation problems, see . Sometimes, these relations lead to new algorithms for classical Operations Research problems, like the maximal circuit mean . There are also special combinatorial problems, like certain problems of disjunctive programming, which can be decomposed by max-plus type methods . Next, the role of max-plus algebra in scheduling problems has been known since the sixties: completion dates can often be computed by max-plus linear equations. Recently, representations of certain scheduling problems using max-plus matrix semigroups have appeared, a first representation was given in for the jobshop case, a simpler representation was given in in the flowshop case. This algebraic point of view turned out to be particularly fruitful in the flowshop case: it allows one to recover old dominance results and to obtain new bounds . Finally, viewing max-plus algebra as a limit of classical algebra allows to use algebraic tools in combinatorial optimisation .
Les techniques d'analyse statique de programme par interprétation abstraite permettent de déterminer automatiquement des invariants en résolvant de ``gros'' problèmes de points fixes dans des treillis, comme par exemple des treillis d'intervalles. Ces problèmes sont justiciables de la théorie des opérateurs monotones et des algorithmes déjà évoqués dans la section . Voir la section ci-dessous.
English version
Static analysis techniques via abstract interpretation allow to compute invariants of programs by solving large fixed points problems for monotone self-maps of lattices. The theory of monotone operators already reviewed in § , and the related algorithms, can be applied to such problems, see § below.
L'algèbre max-plus apparaît de manière naturelle dans le calcul de scores de similitudes dans la comparaison de séquences génétiques. Voir par exemple .
English version
Max-plus algebra arises naturally in the computation of similarity scores, in biological sequence comparison. See for instance .
Trois chercheurs du groupe (S. Gaubert, J.-P. Quadrat, et G. Cohen) ont développé (à partir d'une première version réalisée par M. Mc Gettrick) la boîte à outils Maxplusde Scilab, qui est téléchargeable librementparmi les contributions du site Scilab, et qui est intégrée par défaut dans scilab gtk. Cette boîte à outils implémente l'ensemble du calcul numérique linéaire max-plus, elle comprend en particulier le stockage creux des matrices, et des algorithmes efficaces pour le calcul de la valeur propre basées sur les itérations sur les politiques. Elle a été utilisées par plusieurs chercheurs, voir notamment , . Il faut aussi noter que le groupe de L. Hardouin, du LISA/Istia, a complété la boîte à outils Maxplus en interfaçant leur propre librairieC++, qui permet le calcul des séries de transfert de graphes d'événements temporisés.
English version
Three researchers of the team (S. Gaubert, J.-P. Quadrat, and G. Cohen, building on a preliminary version of M. McGettrick) have developed and released the Maxplus toolboxof Scilab, which is freely availableamong the contributions on the Scilabweb site, and which is included by default in scilab gtk. It implements all basic linear algebra functionalities, with a special attention to large sparse matrices, including efficient algorithms for eigenvalue computation based on policy iteration. The software has been used by several researchers in their work, including , . It should be noted that the team of L. Hardouin, from LISA/Istia, has completed the toolbox by interfacing their own C++ librarycomputing the transfer series of a timed event graph.
Dans son travail de thèse, Asma Lakhoua développe des programmes en Scilab et C, exploitant la boîte à outils Maxplus de Scilab, implémentant de nouvelles discrétisations des équations d'Hamilton-Jacobi correspondant aux problèmes de contrôle optimal déterministe, voir le § ci-dessous.
English version
Asma Lakhoua is developing, as part of her PhD thesis work, programs in Scilab and C, exploiting the Maxplus toolbox, allowing to test max-plus discretisation schemes for Hamilton-Jacobi equations corresponding to deterministic optimal control problems, see § below.
On s'intéresse au problème spectral max-plus
dans lequel le noyau
est donné. On cherche le vecteur propre
et la valeur propre correspondante
. En programmation dynamique, l'ensemble
Sest l'espace des états, et l'application
a(
x,
y)fournit le gain associé à la transition
xy. Comme nous l'avons rappelé dans le §
et le §
, le problème spectral (
) intervient en contrôle ergodique. Le cas où
Sest fini est classique, l'on a alors un résultat précis de représentation de l'espace propre, à l'aide d'un certain graphe, dit graphe critique. Des résultats existent
également lorsque
Sest compact et que le noyau vérifie certaines propriétés de régularité ou certaines conditions géométriques. Le cas d'un ensemble
Snon compact n'a pas été beaucoup étudié jusqu'ici.
English version
We study the max-plus spectral equation (
), where the kernel
is given, and the eigenvector
and the eigenvalue
are unknown. In dynamic programming applications, the set
Sis the
state space, and the map
a(
x,
y)is the
transition reward. As we recalled in §
and §
, this spectral problem arises in ergodic optimal
control. The case where
Sis non-compact has not been much studied.
Lorsque
= 0, l'équation (
) a une analogie évidente avec l'équation définissant les
fonctions harmoniques en théorie (classique ou probabiliste) du potentiel. Dans
, nous avons introduit l'analogue max-plus
de la frontière de Martin, et obtenu un analogue de la formule de représentation de Poisson des fonctions harmoniques : toute solution
ude (
) peut être représentée sous la forme :
où
est l'analogue max-plus de la frontière de Martin minimale (l'ensemble des fonctions harmoniques extrémales normalisées), et où
uest une fonction semi-continue supérieurement à valeurs dans
, jouant le rôle de la mesure spectrale. Nous avons montré que les éléments de l'espace de Martin minimal peuvent être caractérisés comme les limites de certaines (quasi) géodésiques.
La frontière de Martin max-plus généralise dans une certaine mesure la frontière d'un espace métrique construite à partir des horofonctions (fonctions de Busemann généralisées).
Nous étudions maintenant les modèles à temps continu. Dans ce cadre, on cherche les points fixes, à constante additive près, des semi-groupes de Lax-Oleinik. Ceux-ci sont aussi les solutions ``weak-KAM'' de Fathi ou, de manière équivalente, les solutions de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi ergodique. Dans , nous développons une version temps continu de la théorie de frontières de Martin max-plus. Celle-ci inclue des résultats de représentation, la notion de quasi-géodésique, et l'extrémalité des points de la frontière minimale (points de Busemann). Ces résultats s'appliquent aussi au cas de Lagrangiens non réguliers.
English version
When
= 0, the equation (
) has an obvious analogy with the equation defining
harmonic functions in classical or probabilistic potential theory. We have introduced in
a max-plus analogue of the classical Martin
boundary, and obtained an analogue of the Poisson representation of harmonic functions, showing that any solution
uof (
) may be represented as in (
) where
is a max-plus analogue of the minimal Martin boundary (the set of normalised extremal harmonic functions), and
uis an upper semi-continuous map with values in
playing the role of the spectral measure. We showed that the elements of the minimal Martin boundary can be characterised as limits of certain (quasi) geodesics. The max-plus Martin
boundary generalises to some extent the boundary of metric spaces defined in terms of horofunctions (generalised Busemann functions).
Continuous time models are of considerable interest. In the continuous time setting, one wishes to find the fixed points, up to a constant, of Lax-Oleinik semigroups. These are also the weak-KAM solutions of Fathi or, equivalently, the viscosity solutions of the ergodic Hamilton-Jacobi equation. In , we develop a continuous-time version of the boundary theory, including representation results, the notion of ``almost–geodesic'', and the extremal property of the points in the minimal boundary (Busemann points). These results can be applied to nonsmooth Lagrangians.
Dans le contexte plus restrictif des espaces métriques, on trouve une notion similaire à la frontière de Martin max-plus : la frontière définie par les horofonctions. Récemment, cette frontière s'est avérée utile dans l'étude des fonctions contractantes au sens large. L'idée est que les points de la frontière peuvent être vus comme des ``points à l'infini'' et qu'en gros, les itérées d'une fonction contractante sans point fixe convergent vers un des points de la frontière. Il reste à calculer la frontière de Martin max-plus d'espaces métriques intéressants, afin d'en déduire des résultats sur les fonctions contractantes définies sur ces espaces.
Dans
, on étudie la frontière de Martin max-plus
d'espace vectoriels normés de dimension finie. En particulier, on détermine les points de la frontière de Martin minimale max-plus (points de Busemann). Comme cela a été montré dans
, ces calculs sont utiles pour trouver les
vecteurs propres des semi-groupes de Lax-Oleinik pour des lagrangiens de la forme
, où
est une norme arbitraire et
p>1.
English version
A boundary similar to the max-plus Martin boundary has already been constructed for entirely different reasons in the more restrictive setting of metric spaces (the horofunction boundary). Recently, this boundary has been shown to be useful for studying the dynamics of non-expansive maps. The idea is that the points of the boundary are somehow ``points at infinity'' and that, roughly speaking, if the non-expansive map has no fixed point then its iterates must converge to one of these points. It remains to calculate the max-plus Martin boundary for interesting spaces and to fully work out the consequences for non-expansive maps acting on these spaces.
In
the max-plus Martin boundary was
investigated for finite-dimensional normed spaces. In particular, the points of the minimal max-plus Martin boundary (Busemann points) were determined. As was shown in
, these are relevant to finding the
eigenvectors of Lax-Oleinik semigroups with Lagrangians such as
, with
an arbitrary norm and
p>1.
Dans , on étudie la frontière de la géométrie de Hilbert définie par les horofonctions. On détermine ses points de Busemann, qui sont les points obtenus comme limites de quasi-géodésiques et on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les horofonctions soient des points de Busemann. De plus, on montre que toute suite convergent vers un point de la frontière définie par les horofonctions, converge aussi au sens usuel vers un point de la frontière euclidienne du domaine sur lequel la métrique est définie.
English version
In , the horofunction boundary of the Hilbert geometry is investigated. We determine its set of Busemann points, which are those points that are the limits of `almost-geodesics' and give necessary and sufficient conditions for all horofunctions to be Busemann points. In addition we show that any sequence of points converging to a point in the horofunction boundary also converges in the usual sense to a point in the Euclidean boundary of the domain on which the metric is defined.
Les graphes de Cayley de groupes infinis finiment engendrés forment une classe intéressante d'espaces métriques, et l'étude de leur frontière est motivée par la théorie géométrique des groupes. Dans ce contexte, il est souvent possible de trouver une description combinatoire des géodésiques et des points frontière. Dans , on détermine la frontière de groupes d'Artin à deux générateurs, une classe qui contient le groupe de tresses sur 3 brins.
English version
The Cayley graphs of finitely-generated infinite groups form a very interesting class of metric spaces, and the study of their boundaries is motivated by geometric group theory. In this setting, there is often the possibility of finding a nice combinatorial description of the geodesics and the boundary points. In , we determine the boundary of Artin groups with two generators, a class that includes the braid group on three strands.
Comme indiqué dans le § , les applications qui sont contractantes pour certaines métriques, ou qui vérifient certaines propriétés de monotonie ou d'homogénéité, jouent un rôle central en programmation dynamique. Nous étudions plusieurs problèmes concernant la description de l'ensemble des points fixes et le comportement itératif de ces applications, motivés par des questions de contrôle optimal ou de théorie des jeux.
English version
As detailed in § , nonlinear maps that are nonexpansive in some metrics, or that satisfy monotonicity or homogeneity conditions, play a central role in dynamic programming. We have studied several problems concerning the description of the fixed points and of the dynamical behaviour of these maps, motivated by questions arising from optimal control or game theory.
Nous étudions l'unicité du vecteur propre ou du point fixe d'applications
fmonotones homogènes ou plus généralement contractantes au sens large sur un cône, dans le cas où
fest semidifférentiable : une application
f, d'un espace normé
Edans un autre, est
semidifférentiablesi l'on peut écrire
, où
est une application continue multiplicativement homogène. Cette notion est bien adaptée aux opérateurs de programmation dynamique associés à des problèmes de contrôle optimal ou de
jeux, au moins lorsque l'espace d'état est lui même fini. Dans le cas différentiable, des résultats antérieurs de R. Nussbaum montrent que l'unicité du vecteur propre de
f, à une normalisation près, peut être contrôlée à l'aide de résultats d'unicité pour la dérivée
, évaluée en un vecteur propre quelconque
v. Nous montrons qu'il en est de même lorsque
fest semi-différentiable, et obtenons par exemple comme application des résultats d'unicité pour la solution d'équations de programmation dynamique stationnaires, ou
ergodiques, associées à certains problèmes de jeux répétés. Afin d'obtenir des résultats de convergence géométrique pour l'itération sur les valeurs, ainsi qu'un contrôle explicite du taux de
convergence, nous avons étudié en détail dans
les rayons spectraux d'applications non
linéaires monotones.
English version
A natural idea to study the uniqueness of a fixed point
uof a map
fis to use the derivative of
fat point
u, but if
fis the dynamic programming operator of a game or of a control problem, this derivative need not exist since
fmay be piecewise affine. However,
fturns out, at least in the finite dimension case, to be semidifferentiable, meaning that
fhas one-sided directional derivatives and that the limits defining these derivatives are uniform in the direction. We show that, under rather general circumstances,
the uniqueness of the fixed point of the semiderivative of a nonexpansive map, taken at any fixed point
u, implies that the map itself has a unique fixed point. We obtain similar results for nonlinear eigenproblems. In order to obtain geometric convergence results for
value iterations, together with an explicit estimate of the convergence rate, we study in
spectral radii of monotone non linear
maps.
Dans nous avons caractérisé l'espace propre d'applications monotones additivement homogènes convexes de dans lui-même. Dans , nous généralisons ces résultats au cas d'applications qui ne sont pas nécessairement homogènes. Nous étudions en particulier la géométrie de l'ensemble des points fixes stables du système dynamique associé à de telles applications et donnons des conditions sous lesquelles ce système dynamique a un unique point fixe stable. Nous étudions aussi les points périodiques stables et leur période.
English version
In , we caracterised the eigenspace of monotone, additively homogeneous and convex maps from to itself. In , we generalise some of these results to the maps that are not additively homogeneous. In particular, we describe the ``geometry'' of the stable fixed point set of the underlying dynamical system and provide conditions under which this system has a unique stable fixed point. We also analyse the stable periodic points and their period.
Les vecteurs propres additifs non linéaires du semi-groupe associé à un problème de contrôle de diffusion coïncident, sous certaines hypothèses, avec les solutions de viscosité stationnaires des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman correspondantes. Dans le cas particulier déterministe, ces solutions sont caractérisées au moyen de l'ensemble d'Aubry de la théorie KAM faible ou de la frontière de Martin minimale max-plus (voir § ), Dans , nous avons obtenu des caractérisations similaires pour des problèmes de contrôle stochastique à espace d'etat fini et temps discret.
Dans son stage de ``M2'', Benoît David a étudié des problèmes de contrôle de diffusion (sur un tore), pour lesquels il a obtenu une caractérisation similaire faisant intervenir un ensemble fini analogue à l'ensemble des états critiques défini dans ou à l'ensemble d'Aubry.
English version
The nonlinear additive eigenvectors of the semigroup associated to a diffusion control problem coincide, under some assumptions, with the stationary viscosity solutions of the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. In the particular deterministic case, these solutions can be characterised by means of the weak KAM/Aubry-Mather theory or the minimal Martin boundary (see § ). In , we obtained similar characterisations for stochastic control problems with finite state space and discrete time.
In his Master 2 (M2) internship, Benoît David has studied some diffusion control problems (on a torus). He obtained a similar characterisation, involving a finite set which is analogous to the set of critical states defined in or to the Aubry set.
Le ``PageRank'' le plus couramment utilisé est un ordre des pages web calculé à partir du graphe du web, lequel a pour noeuds les pages web et pour arcs les hyperliens : on suppose qu'un visiteur d'une page web choisit la page suivante qu'il va visiter de manière uniforme parmi les pages pointées par la page qu'il est en train de visiter. Ainsi, le parcours d'un visiteur du web est une marche aléatoire sur le graphe du web et on ordonne les pages web par la valeur de la mesure invariante de cette marche aléatoire. On a proposé dans un modèle tenant compte du fait qu'un visiteur du web peut avoir une idée a priori de la valeur des pages, et ainsi favoriser, dans ses choix de page suivante, les pages ``réputées''. On a ainsi mis en évidence des effets auto-validants qui apparaissent si la réputation est reliée au PageRank, conduisant à des phénomènes d'instabilité du PageRank. Les preuves des résultats de font appel à la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire. Elles sont données dans un article en préparation, qui traite également de plusieurs extensions du modèle.
English version
The ``PageRank'' is a well known ranking of the webpages which uses the graph of the web, which nodes are the webpages and which arcs are hyperlinks: one assumes that a websurfer choose randomly the next webpage he will visit, among the pages pointed from the page he is visiting, with uniform distribution. Hence the trajectory of the websurfer is a random walk on the web graph, and one ranks webpages by the value of the invariant measure of this random walk. We have proposed in a model taking into account the fact that a websurfer may have an a priori idea of the value of pages, favouring, in his choice of next pages, pages from ``reputed'' sites. We showed that if the reputation is related to the PageRank, then self-validating effects may appear, leading to an instability of the PageRank. The proofs of these results rely on non-linear Perron-Frobenius theory. They are given in a longer article (in preparation) in which we also discuss several generalisations of the model.
Le stage d'E. Seijo, qui a débuté à l'automne, porte sur le calcul de la valeur propre de Perron d'opérateurs linéaires monotones issus de modèles de dynamique de populations de cellules (saines ou tumorales) étudiés précédemment par Clairambault et Perthame.
English version
The goal of the internship of E. Seijo, which began in September, is to compute the Perron eigenvalue of linear order preserving operators arising in some models of the growth of cell tissues (healty or tumoral) previously studied by Clairambault and Perthame.
Un article de synthèse dédié à la convexité max-plus, est paru dans . Les résultats récents incluent une version max-plus du théorème de Minkowski (version dimension finie du théorème de Krein-Milman) .
D'autres travaux concernent les analogues max-plus des modules projectifs et leurs propriétés de treillis , .
English version
A survey of results concerning max-plus convexity has appeared in . Recent results include a max-plus version of the Minkowski theorem (finite dimensional version of the Krein-Milman theorem) .
Other works concern the max-plus analogues of projective modules, and their lattice properties , .
Les conjugaisons de Moreau sont les transformations de la forme
pour lesquelles le noyau
est donné. Lorsque
, on retrouve la transformée de Legendre-Fenchel. Les conjugaisons de Moreau sont des cas particuliers de correspondances de Galois. Dans
, nous avons étudié le problème de
l'existence et de l'unicité de la solution
fà l'équation
Bf=
g, et obtenu des caractérisations faisant intervenir des sous-différentiels généralisé, relativement au noyau
b. Ces résultats généralisent d'anciens résultats de N. Vorobyev et K. Zimmerman sur les opérateurs de dimension finie. Dans le cas de la transformée de
Legendre-Fenchel, l'unicité est obtenue par exemple pour les fonctions
gconvexes essentiellement régulières. Dans
,
, nous appliquons ces résultats à la
caractérisation de taux de grandes déviations et au calcul du taux de croissance en temps long de certains problèmes de contrôle stochastique.
English version
Moreau conjugacies are transformations
of the form (
) where
is given. When
, we recover the Legendre-Fenchel transform. In
, we studied the problem of the existence
and uniqueness of the solution
fof the equation
Bf=
g. We characterised the solvability in terms of generalised subdifferentials, with respect to the kernel
b. In the case of the Legendre-Fenchel transform, the uniqueness result applies for instance to an essentially smooth convex function
g. In
,
, we apply these results to the
characterisation of large deviation rates and to the computation of the long term growth rate of some stochastic control problems.
Les résultats sur les conjugaisons de Moreau de
sont intimement reliés à la question de
l'unicité de la solution pour le problème d'affectation optimale. Considérons en effet la situation où
X=
Y= {1, ...,
n}, et posons
bij: =
b(
i,
j). La conjugaison de Moreau
Bdéfinie dans (
) s'identifie (à un changement de signe près) à
l'opérateur max-plus linéaire de matrice
(
b
ij)
i,
j= 1, ...,
nnoté encore
Bpar un abus de notation. La matrice
Best dite fortement régulière s'il existe un vecteur
gtel que l'équation
Bf=
gaie une unique solution
f. Le problème d'affectation optimale consiste à trouver une bijection
:
XXmaximisant la somme
. Il est connu
que la matrice
Best fortement régulière si et seulement si le problème d'affectation associé admet une unique solution. Dans
, nous étendons ce résultat au cas d'un
espace d'état
Xdénombrable, en s'appuyant sur les résultats de
.
English version
The results on Moreau conjugacies of
are intimately related with the question of
the uniqueness of the solution of the optimal assignment problem. Let us consider the case where
X=
Y= {1, ...,
n}, and let
bij: =
b(
i,
j). The Moreau conjugacy
Bdefined in (
) can be identified (up to a change of sign) to the
max-plus linear operator with matrix
(
b
ij)
i,
j= 1, ...,
n, denoted again by
Bwith some abuse of notation. One says that the matrix
Bis strongly regular if there exists
gsuch that the equation
Bf=
ghas a unique solution. Moreover, assignment problem consists in finding a bijection
:
XXmaximizing the sum
among all such bijections. It is known
that
Bis strongly regular if and only if the corresponding assignment problem has a unique solution. In
, we are extending this result to the case
of a countable state space
X, using the results of
.
Dans son stage de M2 (Mathématiques et Applications, Spécialité ``probabilités et applications'' de Paris VI), intitulé ``Maxitive integration and Radon-Nikodým theorem'' et co-encadré par F. Baccelli et M. Akian, Paul Poncet a obtenu un résultat de type Radon-Nikodým pour les mesures idempotentes (aussi appelées mesures maxitives), généralisant à la fois les résultats d'existence de densité obtenus dans et dans . Ce résultat utilise en particulier le théorème de séparation des semi-modules de .
English version
In is ``M2'' internship (from Paris VI, ``Mathématiques et Applications'', with speciality ``probabilités et applications''), intitled ``Maxitive integration and Radon-Nikodým theorem'', and co-supervised by F. Baccelli et M. Akian, Paul Poncet has obtained a Radon-Nikodým type result for idempotent measures (also called maxitive measures), which generalises at the same time the existence of a density results obtained in and in , using in particular the theorem of separation of semimodules of .
Différentes notions de rang de matrices max-plus ont été introduites dans la littérature, voir pour un survol. De nouvelles notions de rang sont apparues récemment, en relation avec la géométrie tropicale, notamment dans des travaux de Sturfmels et de ses collaborateurs, et d'Izhakian. Cependant, le lien avec les notions de rang issues de la théorie de la ``symmétrisation'' n'a pas encore été étudié. C'est l'objet du travail en cours .
English version
Several notions of rank of max-plus matrices have been introduced in the litterature, see for a survey. New rank notions have appeared recently, in relation with tropical geometry, in particular in some works of Sturmfels and his coworkers, and of Izhakian. However, the relation with the rank notions arising from symmetrization theory has not yet been studied. This is the goal of the present work .
L'étude des valeurs propres d'une matrice perturbée de la forme
a+
b, où
aet
bsont des matrices complexes et
est un paramètre, est un problème classique de théorie des perturbations. Une théorie initiée par Višik et Ljusternik, et complétée par Lidskiĭ, permet de déterminer, pour des valeurs
génériques de la perturbation
b, les asymptotiques au premier ordre
de toutes les valeurs propres
de la matrice perturbée. Certaines situations non génériques donnent lieu à des cas singuliers, qui ont motivé beaucoup de travaux, notamment de Najman, Ma et Edelman, Moro, Burke et
Overton. De tels cas singuliers peuvent être abordés à l'aide de techniques max-plus, qui révèlent des problèmes d'optimisation discrète sous-jacents. Dans
et
, nous avons ainsi considéré le problème
plus général d'une matrice
dont les coordonnées ont des asymptotiques au premier ordre de la forme
lorsque
tend vers 0, pour certains
et
. On a montré que la suite des exposants dominants des valeurs propres de
peut, pour des valeurs génériques des paramètres
aij, être calculée au moyen de problèmes d'optimisation discrète, qui sont des variations autour du problème d'affectation optimale
et du problème du plus court chemin
. Ceci permet de généraliser le théorème de
Višik, Ljusternik, et Lidskiĭ, et de résoudre des cas qui sont singuliers pour les approches classiques.
English version
A basic problem in perturbation theory consists in studying the eigenvalues of a perturbed matrix of the form
a+
b, where
aand
bare given complex matrices, and
is a parameter. A theory initiated by Višik and Ljusternik, and completed by Lidskiĭ, allows one to determine, for generic values of the perturbation
b, the first order asymptotics
of all the eigenvalues
of the perturbed matrix. Some nongeneric situations lead to singular cases, which have attracted much attention (see in particular works by Najman; Ma and Edelman; Moro, Burke and
Overton). Such singular cases can be approached with max-plus techniques, which bring to light underlying discrete optimisation problems. In
and
, we considered the more general problem of
a matrix
whose entries have first order asymptotics of the form (
) as
tends to 0, for some
and
. We showed that, for generic values of the parameters
aij, the sequence of leading exponents of the eigenvalues of the matrix
can be determined from discrete optimisation problems, which are variations on the optimal assignment problem
and shortest path problem
. This allowed us to generalise the theorem
Višik, Ljusternik, and Lidskiĭ, and to solve cases which were singular in previous approaches.
Dans ce travail, nous exploitons les problèmes d'optimisation discrète sous-jacents aux problèmes de détermination de valeur propre (cf. la section précédente), afin de développer des algorithmes de calcul numérique robuste de valeurs propres et vecteurs propres de matrices. On rencontre en effet de nombreuses situations pratiques dans lesquelles les coefficients d'une matrice sont d'ordre de grandeur variables, rendant peu efficaces les méthodes existantes. La preuve des résultats de et suggère des renormalisations, permettant de rendre plus précis le calcul de valeurs propres. Ce problème est important en analyse numérique : les valeurs propres peuvent déterminer la stabilité d'une structure mécanique ou la sensibilité d'un portefeuille (maximisant une fonction d'utilité). Dans son stage de M2, Matthieu Chretien a testé les renormalisations suggérées ci-dessus. Il a notamment écrit un programme scilab, permettant de calculer les valeurs propres max-plus (racines du polynôme caractéristique) à partir d'algorithmes de flot à coût minimum.
English version
We exploit the relations between optimisation problems and matrix eigenvalues, described in the preceding section, to develop robust numerical algorithms to compute eigenvalues. Indeed, in many practical situations, the entries of a matrix may be of different order of magnitude, which make the existing methods less efficient. The proof of the results of and suggests diagonal scalings, allowing one to make more precise numerical eigenvalue computations. This problem is important in numerical analysis : eigenvalues may determine the stability of a mechanical structure or the sensitivity of a portfolio (maximizing some utility function). In his ``M2'' internship, Matthieu Chretien has tested the diagonal scaling suggested above. He wrote in particular a Scilab program computing the max-plus eigenvalues (roots of the characteristic polynomial) via minimal cost flow algorithms.
V. Dhingra a effectué son stage de ``Mtech'' de l'IIT Delhi à l'INRIA, sous la direction de S. Gaubert, dans le cadre du programme ``INRIA international internships''. Le travail de Mtech
a porté tout d'abord sur le raffinement et l'implémentation de l'algorithme d'itération sur les politiques pour les jeux déterministes, donné dans
, afin de traiter des problèmes de grande
taille. Il s'agit de calculer la valeur de jeux à somme nulle à espaces d'état et d'action finis, avec critère ergodique ce qui signifie que le critère pris en compte par l'un des joueurs est
un gain moyen par unité de temps. Le calcul de la valeur se ramène au calcul d'une demi-droite invariante par l'opérateur de programmation dynamique, i.e., d'un couple de vecteurs
v,
tels que
f(
v+
t) =
v+ (
t+ 1)
, pour tout scalaire
tassez grand, où
fdésigne l'opérateur de programmation dynamique. En effet, la valeur du jeu, si l'état initial est
i, coï ncide avec la
i-ième coordonnée de
. Le vecteur
vest d'un intérêt intrinsèque dans certaines applications de type systèmes à événements discrets (il fournit un régime stationnaire). Un point essentiel de l'algorithme
est le calcul rapide d'un ``projecteur spectral'', qui permet de contrôler la non-unicité de la demi-droite invariante, pour chacun des sous-problèmes résolus en cours d'algorithme. Des
expériences systématiques ont confirmé l'efficacité de l'algorithme. Ainsi, pour des instances aléatoires, le nombre d'itérations macroscopiques croît lentement avec la dimension du problème
(chacune de ces itérations prend un temps linéaire), alors que pour des instances structurées (jeux de poursuite), ce nombre d'itérations apparaît être contrôlé par des paramètres
géométriques (il est typiquement de l'ordre du carré du diamètre de la pièce où se déroule la poursuite). Ces travaux sont présentés dans
, ainsi que dans le mémoire de Mtech
.
On a ensuite étendu ce travail au cas des jeux stochastiques avec critère ergodique. Les espaces d'états et d'actions sont toujours supposés finis, mais on ne fait aucune hypothèse d'irréducibilité sur les matrices de transition associées à un couple de stratégies (avec de telles hypothèses, le problème devient nettement plus simple). L'algorithme donné dans , qui améliore celui de , repose sur la résolution d'une suite de problèmes d'arrêt optimal. Sa preuve repose sur des résultats généraux concernant des analogues non-linéaires de la notion de réduite de fonction sur-harmonique. Une première implémentation et des tests, dans le cas de versions discrètes de problèmes de type ``Laplacien infini'' (reliées aux ``jeux de Richman''), ont été réalisés .
English version
V. Dhingra did his ``Mtech'' internship at INRIA, under the supervision of S. Gaubert, within the ``INRIA international internships'' framework.
A first part of the work consisted of the refinement and implementation of the policy iteration algorithm for repeated games given in
, in order to deal with large scale
problems. The goal is to compute the value of zero-sum games with finite state and action spaces, and ergodic payoff (mean payoff per time unit). This reduces to finding an invariant
half-line of the dynamic programming operator
fof the game. Such an invariant half-line is specified by two vectors
vand
such that
f(
v+
t) =
v+ (
t+ 1)
for all large enough values of the scalar parameter
t. Indeed, the value of the game with initial state
icoincides with the
i-th coordinate of
. The vector
vis of independent interest in some discrete event systems applications (it determines stationary regimes). A key ingredient of the algorithm is the fast computation of
a ``spectral projector'', which allows one to control the non-uniqueness of the invariant half-line, for each of the subproblems which are solved during the execution of the algorithm.
Systematic experiments have confirmed the efficiency of the algorithm. For random instances, the number of macroscopic iterations of the algorithm grows slowly with the dimension (each of
these iterations takes a linear time), whereas for structured examples (pursuit-evasion games), the number of iterations appears to be determined by geometric parameters (for instance, it is
of the order of the square of the size of the room where the pursuit takes place). This work is presented in
and in the Mtech thesis
.
We have extended this work to stochastic games with ergodic payoff. The state and action spaces are still finite, but we make no irreducibility assumption on the transition matrices arising from a pair of strategies of the players. (such assumptions would make the problem much simpler). The algorithm given in , which improves the one of , relies on the solution of a sequence of optimal stopping problems. The proof relies on general results, concerning a non-linear analogue of the notion of reduced super-harmonic function. A first implementation has been done and tested with discrete ``Laplacian infinity'' type problems (related to ``Richman games'') .
Le sujet de thèse d'A. Lakhoua est le développement de méthodes de discrétisation des équations d'Hamilton-Jacobi exploitant la linéarité max-plus. Nous avons commencé par étudier un analogue max-plus de la méthode des éléments finis de Petrov-Galerkin dans le cas de l'équation d'évolution
où l'hamiltonien
H(
x,
p)est supposé convexe par rapport à
p. Comme rappelé dans la §
, le semi-groupe d'évolution
Stassocié est max-plus linéaire. Ainsi, on peut remplacer l'équation (
) par la formulation variationnelle suivante, définie
récursivement par :
pour
t= 0,
t, ...,
T-
t. Ici,
est le produit scalaire max-plus et
et
sont respectivement des semi-modules max-plus finiment engendrés d'éléments finis et de fonctions test. Cette formulation approxime la formulation variationnelle max-plus introduite
par Kolokoltsov et Maslov. Comme (
) peut ne pas avoir de solution
, on définit
comme étant la sous-solution maximale de (
), qui est obtenue en remplaçant l'égalité par une
inégalité, et en maximisant
. Le système dynamique ainsi obtenu s'interprète comme l'équation de la programmation dynamique d'un problème de jeux à somme nulle déterministe, contrairement au cas de la méthode
proposée initialement par Fleming et McEneaney
, qui elle est purement max-plus linéaire.
Sous des hypothèses standard de régularité, nous avons obtenu des estimations d'erreur similaire au cas de la méthode des éléments finis classique : les projecteurs pour la norme
d'énergie sont remplacés par des projecteurs sur des semi-modules max-plus, et l'erreur de projection est mesurée dans la norme du sup. Ces résultats utilisent la théorie développée
dans
, voir §
: l'interprétation géométrique fournie par ces
travaux permet de comprendre pourquoi les espaces
et
doivent être différents. La méthode nécessite le calcul de
pour toute fonction test
zet tout élément fini
w. Plusieurs approximations ont été proposées et étudiées tant théoriquement que numériquement. Une partie de ces travaux ont fait l'objet des articles
,
, et
. D'autres articles de journaux sur le
sujet ainsi que la thèse d'Asma Lakhoua sont en cours de finalisation. Des développements récents incluent des résultats théoriques permettant de réaliser une implémentation semi-creuse de la
méthode, ainsi que l'étude de problèmes stationnaires.
English version
The goal of the thesis of A. Lakhoua is to develop methods of discretisation of Hamilton-Jacobi equations exploiting the max-plus linearity. We began by proposing a
max-plus analogue of the classical Petrov-Galerkin finite element method, in the case of the evolution equation (
) where the Hamiltonian
H(
x,
p)is convex in the variable
p. As we recalled in §
, the associated evolution semigroup
Stis max-plus linear. Therefore, we replace Equation (
) by the max-plus variational approximation, defined
recursively by (
) for
t= 0,
t, ...,
T-
t. Here,
denotes the max-plus scalar product, and
and
are finitely generated max-plus semimodules of finite elements and test functions, respectively. This formulation approximates the max-plus variational formulation due to Kolokoltsov
and Maslov. Since Equation (
) need not have a solution
, we define
to be the maximal subsolution of (
). This yields a discretised scheme which can be
interpreted as the dynamic programming equation of a zero-sum two player repeated game, unlike a max-plus discretisation scheme proposed previously by Fleming and McEneaney
which is purely max-plus linear. We
obtained, under standard assumptions, error estimates which are similar to the case of the classical finite element method: projectors in the energy norm are replaced here by projectors on
max-plus semimodules, and the projection error is measured in the sup norm. These results rely on the theory developed in
, see §
: in particular, the geometrical interpretation given
there allows one to understand why the spaces
and
must differ. The method requires the evaluation of
for each test function
zand each finite element
w. Various approximations have been proposed and studied theoretically and numerically. Part of these studies appeared in
,
and
. Other journal articles on the subject and
the PhD thesis of Asma Lakhoua are about to be finished. Recent development include theoretical results allowing to make a semi-sparse implementation, and the study of stationary
problems.
L'interprétation abstraite est une technique, introduite par Cousot, qui permet de déterminer des invariants de programmes en calculant des points fixes minimaux d'applications monotones définies sur certains treillis. Il peut s'agir par exemple de treillis d'intervalles de , ou bien de treillis formés de familles de sous-ensembles de (décrits par des inégalités de type potentiel, par des inégalités affines, etc.). Une difficulté répertoriée est que les algorithmes de point fixe naï fs effectuent parfois un nombre d'itérations considérable. Cette pathologie a donné lieu à de nombreux travaux.
Dans un travail précédent , nous avons montré que les algorithmes d'itérations sur les politiques pour les jeux répétés, tels que ceux développés dans , , , , peuvent être étendus au cadre de l'analyse statique.
Ce travail s'est poursuivi, avec le stage d'A. Taly, élève de l'IIT de Mumbai, effectué au CEA (prolongeant un premier stage ayant eu lieu en 2005). Ceci nous a permis de formuler et de tester un algorithme d'itération sur les politiques adapté au cas des treillis dits de ``templates'' introduits par Manna et ses collaborateurs. Les éléments de ces treillis sont des polyèdres spéciaux, paramétrisés par leurs fonctions supports. Ces treillis sont bien adaptés à l'analyse de programmes de grande taille (contrairement à l'approche par polyèdre généraux qui ne passe pas aussi bien à l'échelle). L'algorithme d'itération sur les politiques pour les ``templates'' est décrit dans . Chaque itération de l'algorithme combine de la programmation linéaire et des algorithmes de graphes. L'algorithme repose sur une identification des stratégies aux points extrêmes de certains polyèdres issus de formulations duales. Des résultats expérimentaux ont montré le caractère effectif de la méthode, avec un gain en précision par rapport aux approches classiques.
English version
Cousot's abstract interpretation allows one to determine invariants of programs by computing the smallest fixed point of certain monotone maps, defined on some complete lattices, like lattices of intervals of , or more generally, on lattices consisting of ``nice'' families of subsets of (defined by potential constraints, by affine inequalities, etc.). A well known difficulty, which has motivated much work in the field, is that the convergence of naive fixed point iterations can be slow.
In a previous work , we showed that the policy iteration techniques for repeated games of , , , , can be generalised to compute such fixed points.
This work was pursued this year with the internship of A. Taly, student from IIT Mumbai, done at the CEA (following a first internship, done the previous year). We introduced and experimented a policy iteration algorithm adapted to the case of ``template'' lattices used by Manna and his collaborators. The elements of these lattices are special polyhedra, parametrised by their support functions. These lattices are well adapted to the analysis of large size programs (the approach using general polyhedra does not scale so easily). The policy iteration algorithm for templates is described in . Every iteration combines linear programming techniques with graph algorithm. A key theoretical point, on which the algorithm is based, is the identification between the strategies and the extreme points of polyhedra arising from certain dual programs. Experimental results have shown the effectiveness of the method, with an improved precision by comparison with other approaches.
Un CRE avec France Télécom R & D (M. Bouhtou), portant sur l'identification dynamique du trafic dans les grands réseaux IP, impliquant S. Gaubert et C. Walsh, a démarré en Novembre 2006. Le sujet est abordé notamment à l'aide de techniques de théorie de Perron-Frobenius non-linéaire, qui interviennent dans l'étude des questions de maximisation d'entropie.
Coopération INRIA-CNRS-Laboratoire Poncelet (3 ans à partir de juillet 2006) : coopération entre les membres du projet MAXPLUS, le groupe de Maslov à Moscou, comprenant entre autres G. Litvinov, et A. Sobolevskii, et un groupe à Strasbourg (CNRS) comprenant I. Itenberg et V. Kharlamov, autour de questions d'algèbre max-plus.
Bourse de l'Agence Universitaire de la Francophonie (AUF) : Asma Lakhoua a obtenu le renouvellement de sa bourse de l'AUF pour 10 mois à partir du 1er novembre 2005, pour sa thèse en cotutelle (Paris 6-ENIT).
Vassili Kolokoltsov de Warwick University (UK), 7 mois de janvier à juillet.
Alexander Guterman de l'université d'état de Moscou, 3 mois de juin à septembre.
David McCaffrey de Knowledge Support Systems Ltd (Manchester), 3 jours.
William McEneaney de l'Univerity of California at San Diego, 1 semaine.
Bas Lemmens de Warwick University, 1 semaine.
Roger Nussbaum de Rutgers University, 1 semaine.
M . Akian :
Co-responsable du séminaire <<Probabilités, Optimisation, Contrôle>> de l'INRIA Rocquencourt.
Membre élue de la Commission d'évaluation de l'INRIA (depuis septembre 2005).
Membre du Comité de Programme de Valuetools'06 (International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools).
S. Gaubert :
Membre du Comité éditorial de J. Discrete Event Dynamic Systems.
Membre du Comité de Programme de RelMiCS/AKA'06.
Membre du Comité de Programme de POSTA'06.
Membre du Conseil de la formation à l'ENSTA.
Membre du Comité d'experts ayant évalué l'Unité de Mathématiques Appliquées de l'ENSTA en 2006.
J.P. Quadrat :
Administre le site d'intérêt général http://www.maxplus.org, dédié à l'algèbre max-plus.
A. Lakhoua
TD de Mathématiques en Licence 1 (première année d'université) à Paris 6, depuis septembre 2006 dans le cadre d'un poste d'ATER à temps plein.
B. David
TD de Mathématiques en Licence 1 (première année d'université) à Paris 6, depuis septembre 2006 dans le cadre d'un monitorat.
S. Gaubert
Cours (Systèmes à Événements Discrets) de la spécialité Automatique, Traitement du Signal et des Images (ATSI) du M2 IST de l'Université d'Orsay. Ce cours est commun à l'Option Automatique de l'ENSMP.
Cours (Algèbre max-plus pour le contrôle optimal et les jeux) du Parcours Optimisation et Théorie des Jeux - Modélisation en Économie (OJME) du M2 Mathématiques et Applications de l'Université de Paris 6.
Cours magistral, petites classes et organisation des enseignements d'approfondissement de Recherche Opérationnelle en troisième année à l'École Polytechnique (majeure de Mathématiques Appliquées), avec polycopié .
Participation au cours d'Optimisation Combinatoire en troisième année à l'Ensta.
Asma Lakhoua, inscrite en cotutelle à Paris VI et à l'ENIT. Encadrement assuré par S. Gaubert, M. Akian et Henda El Fekih (ENIT, Tunis).
Benoît David, inscrit à Paris VI. Encadrement assuré par M. Akian et S. Gaubert.
M. Akian
Concours de recrutement de chercheurs INRIA : CR1, CR2-Sophia et CR2-Nancy.
S. Gaubert
Rapporteur sur la thèse de Iteb Ouerghi (ISTIA/Université d'Angers, Décembre 06).
M. Akian
New Trends in Viscosity Solutions and Nonlinear PDEs, July 24–28, 2006, Lisbon, Portugal. Titre de l'exposé : ``Eigenvectors of convex, order preserving, additively homogeneous maps and stationary viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations''.
POSTA'06, 30 août–1er septembre 2006, Grenoble. Titre de l'exposé : ``The
T-PageRank: a model of self-validating effects of web surfing''.
Visite d'une semaine à Moscou, dans le cadre de la coopération INRIA-CNRS-Laboratoire Poncelet, Décembre 2006. Exposé de séminaire : ``Solution of functional max-plus linear equations with application to large deviations''.
S. Gaubert
ALA'06 (Conference on applied linear algebra), July 24 - 27, 2006, Düsseldorf. Titre de l'exposé : ''Perturbation of eigenvalues of matrix pencils and min-plus algebra''
Conference RelMiCS/AKA, August 29-Sept. 2, 2006, Manchester. Titre de l'exposé : ``Max-plus convex geometry''.
Valuetools'06, October 11-13, 2006, Pisa. Titre de l'exposé : ``How to solve large scale deterministic games with mean payoff by policy iteration''.
Visite de Peter Butkovič à l'Université de Birmingham (Maths/Stats Dep.), 1 jour.
Visite d'une semaine à Moscou, dans le cadre de la coopération INRIA-CNRS-Laboratoire Poncelet, Décembre 2006. Exposé au séminaire Globus : ``Topics in max-plus or tropical spectral theory''.
C. Walsh
New Trends in Viscosity Solutions and Nonlinear PDEs, July 24–28, 2006, Lisbon, Portugal. Titre de l'exposé : ``Representation of stationary solutions of Hamilton-Jacobi equations in terms of horofunctions''.
45th IEEE Conference on Decision and Control. December 13-15, 2006, San Diego, CA, USA. Titre de l'exposé : ``How to Find Horizon-Independent Optimal Strategies Leading Off to Infinity: A Max-Plus Approach''.
Visite d'une semaine de Roger Nussbaum, à l'université de Rutgers (Maths Dep.).