Section: New Results

Applications

Introduction

Nous présentons maintenant plusieurs travaux de nature appliquée, touchant à des domaines variés, dans lesquels nous exploitons certaines des techniques mathématiques présentées précédemment, et particulièrement celles qui relèvent de la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire et de la convexité tropicale. Ces applications utilisent aussi des techniques d'algèbre linéaire ou d'optimisation convexe.

English version

In this section, we describe several applied works in which we use some of the theoretical tools developed by the team, including non-linear Perron-Frobenius theory and tropical convexity. Some of these applications also make an intensive use of linear algebraic and convex programming methods.

Propriétés des valeurs propres de Perron et de Floquet, et application en chronothérapeutique/Properties of Perron and Floquet eigenvalue, with an application to chronotherapeutics

Participants : Frédérique Billy [Projet BANG, Inria] , Jean Clairambault [Projet BANG, Inria] , Olivier Fercoq, Stéphane Gaubert, Thomas Lepoutre [Projet BANG puis DRACULA, Inria] .

On s'intéresse à des modèles de systèmes dynamiques monotones structurés en âge représentant la croissance de populations de cellules (saines ou tumorales), à la suite de travaux de Clairambault et Perthame. Il s'agit de comprendre l'influence du contrôle circardien sur la croissance des cellules. Dans le cas stationnaire, le taux de croissance est représenté par une valeur propre de Perron. Dans le cas périodique, il s'agit d'une valeur propre de Floquet. Les travaux [39] , [73] ,  [72] portent sur l'identification de ces modèles ainsi que sur un problème de contrôle thérapeutique, consistant à minimiser le taux de croissance des cellules tumorales sous une contrainte de non-toxicité du traitement (maintien d'une population de cellules saines). Ce travail s'appuie en particulier sur un algorithme d'optimisation de la valeur propre de Perron d'une matrice développé par Fercoq dans un autre contexte  [104] .

Un développement récent de ce travail peut être trouvé dans [39] . Un travail théorique sur ce type de modèles est présenté dans [46] .

English version

We study monotone dynamical systems representing the growth of cells (healthy or tumoral), following a work of Clairambault and Perthame. The goal is to understand how the circadian control influences the growth of cells. In the case of stationnary monotone systems, this growth is measured by the Perron root. In the time periodic case, this Perron root is replaced by a Floquet multiplier.

The works [39] , [73] ,  [72] deal with the identification of these models, together with a therapeutic control problem, consisting in minimizing the growth rate of tumoral cells, under a non-toxicity constraint (preserving the population of healthy cells). This works relies in particular on a fast algorithm to optimize the Perron eigenvalue of a matrix, developed by Fercoq in a different context  [104] .

A recent development of this work can be found in [39] . A theoretical work on this kind of models has been presented in [46] .

Preuve formelle d'inégalités non-linéaires/Formal proofs of non-linear inequalities

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Victor Magron, Benjamin Werner [LIX] .

La thèse de Victor Magron [11] , dirigée par Benjamin Werner, codirigée par Stéphane Gaubert et Xavier Allamigeon, a porté sur la certification de bornes inférieures de fonctions multivariées à valeurs réelles, définies par des expressions semi-algébriques ou transcendantes, et sur la preuve de validité de celles-ci au moyen de certificats dans l'assistant de preuves $\text{Coq}$.

De nombreuses inégalités de cette nature apparaissent notamment dans la preuve par Thomas Hales de la conjecture de Kepler. Voici un exemple typique d'inégalité à prouver.

Lemme 9922699028 Flyspeck. Soit $K$, $\Delta 𝐱$, $l$, $t$ et $f$ définis comme suit:

Alors, $\forall 𝐱\in K,f\left(𝐱\right)\ge 0.$

On s'est donc intéressé à des fonctions non-linéaires, faisant intervenir des opérations semi-algébriques ainsi que des fonctions transcendantes univariées ($cos$, $arctan$, $exp$, etc).

De manière classique, on peut approcher les fonctions transcendantes qui interviennent de la sorte par des polynômes, ce qui permet de se ramener à des problèmes d'optimisation semi-algébriques, que l'on peut résoudre par des techniques de sommes de carrés creuses conduisant à des problèmes SDP. Cependant, en pratique, cette approche est limitée par la taille des SDP à résoudre, qui croît rapidement avec le degré des approximations polynomiales.

Dans ce travail de thèse, on a développé une méthode alternative, qui consiste a borner certains des constituants de la fonction non-linéaire par des suprema de formes quadratiques dont les Hessiens sont judicieusement choisis. On reprend donc ici l'idée des approximations “max-plus” initialement introduites en contrôle optimal, en s'appuyant sur des techniques d'interprétation abstraite (généralisation non-linéaire de la méthode des gabarits de Manna et al.). Ainsi, on obtient une nouvelle technique d'optimisation globale, basée sur les gabarits, qui exploite à la fois la precision des sommes de carrés et la capacité de passage à l’échelle des méthodes d'abstraction.

L’implémentation de ces méthodes d'approximation a abouti à un outil logiciel : $\mathrm{𝙽𝙻𝙲𝚎𝚛𝚝𝚒𝚏𝚢}$. Cet outil génère des certificats à partir d'approximations semi-algébriques et de sommes de carrés. Son interface avec $\text{Coq}$ permet de bénéficier de l’arithmétique certifiée disponible dans l'assistant de preuves, et ainsi d'obtenir des estimateurs et des bornes valides pour chaque approximation.

Les performances de cet outil de certification ont été démontrées sur divers problèmes d'optimisation globale ainsi que sur des inégalités essentiellement serrées qui interviennent dans la preuve de Hales (projet Flyspeck).

Ce travail est exposé dans [25] , [26] .

English version

The PhD work of Victor Magron [11] , supervised by Benjamin Werner, and cosupervised by Stéphane Gaubert and Xavier Allamigeon, dealt with the certification of lower bounds for multivariate functions, defined by semi-algebraic or transcendental expressions, and their correctness proof through certificates checked in the $\text{Coq}$ proof assistant.

Many inequalities of this kind appear in particular in the proof by Thomas Hales of Kepler's conjecture. Here is a typical example of inequality.

Lemma 9922699028 Flyspeck. Let $K$, $\Delta 𝐱$, $l$, $t$ and $f$ be defined as follows:

Then, $\forall 𝐱\in K,f\left(𝐱\right)\ge 0.$

Thus, we considered non-linear functions, defined in terms of semi-algebraic operations and univariate transcendental functions ($cos$, $arctan$, $exp$, etc).

Such transcendental functions can be classically approximated by polynomials, which leads to semi-algebraic optimization problems, which can be solved by sparse sum of squares techniques leading to SDP formulations. However, in practice, this approach is limited by the growth of the size of the SDP instances to be solved, whichs grows quickly with the degree of polynomial approximations.

In this PhD, we developed an alternative method, which consists in bounding some constituents of the non-linear function to be optimized by suprema of quadratic forms with well chosen Hessians. This is based on the idea of “maxplus approximation” initially introduced in optimal control, and also, on abstract interpretation (the template method introduced by Manna et al. in static analysis). In this way, we end up with a new global optimization technique, which takes advantage of the precision of sum of squares and of the scalability of abstraction methods.

These methods have been implemented in a software tool: $\mathrm{𝙽𝙻𝙲𝚎𝚛𝚝𝚒𝚏𝚢}$. This tool generates certificates from semi-algebraic and sum of square certificates. Its interface with $\text{Coq}$ allows one to take benefit of the certified arithmetics available in this proof assistant, and so, to obtain estimators and valid bounds for each approximation.

The performances of this certification tool have been shown on several global optimization problems from the litterature, as well as on essentially tight inequalities taken from Hales' proof (Flyspeck project).

This work is presented in [25] , [26] .

Vérification de systèmes temps-réels/Verification of real-time systems

Participants : Xavier Allamigeon, Uli Fahrenberg [IRISA] , Stéphane Gaubert, Ricardo Katz [Conicet] , Axel Legay [IRISA] .

Dans  [141] , Lu, Madsen, Milata, Ravn, Fahrenberg et Larsen ont montré que les polyèdres tropicaux peuvent être utilisés dans le cadre de l'analyse d'accessibilité d'automates temporisés. En effet, les polyèdres tropicaux expriment naturellement des invariants non-convexes, qui sont en fait des disjonctions d'invariants fournis par des DBM (difference bound matrices). A ce titre, les polyèdres tropicaux devraient permettre de réduire le nombre de disjonctions réalisées pendant l'analyse d'automates temporisés. Une limitation importante de cette approche est cependant que les polyèdres tropicaux sont topologiquement fermés, et qu'ils ne peuvent donc pas exprimer de contraintes d'inégalités strictes. Ces dernières sont néanmoins fondamentales dans l'analyse de systèmes temps-réels.

Nous avons donc développé dans [44] une généralisation des polyèdres tropicaux permettant d'exprimer des contraintes mixtes, i.e. strictes ou larges. Notre approche repose sur l'utilisation d'inégalités tropicales linéaires à coefficients dans un (quotient du) semi-anneau de germes affines. Afin de réaliser des opérations sur cette nouvelle classe de polyèdres tropicaux, nous avons défini deux nouveaux algorithmes. Le premier est un analogue tropical de l'élimination de Fourier-Motzkin. Celle-ci s'applique plus généralement à des systèmes d'inégalités linéaires sur des semi-anneaux idempotents et totalement ordonnés. Le second algorithme permet de tester si un système de contraintes mixtes admet une solution. Nous montrons en effet que ce problème est équivalent en temps polynomial à la résolution d'un problème de jeux déterministes à somme nulle. Ces deux contributions nous permettent de définir les primitives requises pour l'analyse d'accessibilité d'automates temporisés.

English version

Lu, Madsen, Milata, Ravn, Fahrenberg and Larsen have shown in  [141] that tropical polyhedra can be applied to the reachability analysis of timed automata. Indeed, tropical polyhedra naturally express non-convex invariants, which correspond to disjunctions of invariants provided by DBM (difference bound matrices). Consequently, tropical polyhedra should allow to reduce the number of disjunctions arising during the analysis of timed automata. An important limitation of this approach is that tropical polyhedra are topologically closed, and thus they cannot express strict inequality constraints. However, such constraints plays an important role in the analysis of real-time systems.

As a result, we have developed in [44] a generalization of tropical polyhedra, in order to express mixed constraints, i.e. strict or loose ones. Our approach relies on tropical linear inequalities with coefficients in a (quotient of) the semiring of affine germs. In order to perform operations on this new class of polyhedra, we have introduced two new algorithms. The first one is a tropical analog of Fourier-Moztkin elimination. In fact, it applies more generally to systems of linear inequalities over totally ordered and idempotent semirings. The second algorithm allows to test the feasability of a mixed constraint system. We indeed show that this problem is polynomial-time equivalent to solving mean payoff games. These two contributions allow to define the primitives required by the reachability analysis of timed automata.