Participants : Vincent Dumas, Philippe Flajolet, Philippe Robert
Les recherches de cette année concernent le problème combinatoire de recouvrement d'un graphe par choix aléatoire d'arêtes. Ceci se rattache au problème fameux du ``collectionneur de coupons'', lequel est lui-même un modèle de nombreux phénomènes d'allocation dynamique de ressources. Le modèle étudié est issu directement d'un problème rencontré en simulation de réseaux d'interconnexion et dû à A. Greenberg (AT&T Bell Lab.).
À chaque unité de temps, une arête d'un graphe de référence G est tirée au hasard et il s'agit de déterminer la profondeur d'empilement vue des sommets. L'objet de cette étude est notamment de préciser à quelle vitesse et comment la topologie du graphe joue un rôle dans le comportement quantitatif de ce processus combinatoire.
Les participants ont montré que le processus tend presque
sûrement vers l'infini à vitesse constante 
. En fait, une chaîne de Markov ergodique
convergeant très vite à l'équilibre y est sous-jacente. En
utilisant une analogie avec les processus de branchement
dépendant de l'âge et un résultat de Kingman dans ce domaine, une
borne supérieure pour la constante 
a été obtenue.
Pour comprendre le rôle de la topologie, en particulier pour
montrer que la constante 
pour le tore est plus petite que pour le réseau
complètement connecté (conjecture encore non résolue), ils ont
examiné l'une des caractéristiques de ce modèle : si l'on tire au
hasard des arêtes d'un graphe G, quel est le temps
nécessaire à la première couverture complète de tous les sommets
? Ce problème apparaît comme équivalent au problème du
collectionneur de coupons avec tirages en groupes. Ils ont montré
que le temps moyen de couverture complète est fréquemment de
l'ordre de 
s'il y a
N sommets. Ont été obtenues des expressions explicites de
ce temps moyen dans le cas de plusieurs classes de graphes
classiques dotées de propriétés de symétrie, ainsi que des
approximations poissonniennes dans le cas de graphes
réguliers.