Participant : Franç ois Morain
Participant : François Morain
Il s'agit là d'un axe fortement motivé au départ par la
cryptographie et qui constitue principalement le domaine de
recherche de F. Morain (mis à disposition du Laboratoire
d'informatique de l'École polytechnique par l'Armement et présent
à environ 
de son temps
sur le site). Les problèmes de base du domaine sont ceux portant
sur la décomposition des entiers en facteurs premiers. Ces
problèmes sont au coeur de la réalisation de systèmes de
chiffrement à clefs publiques, systèmes très robustes et dont
l'essor ne fait que commencer. À ce jour, F. Morain dispose
d'outils particulièrement performants pour mener à bien cette
tâche : en particulier, factoriser des nombres de 100
chiffres ou bien prouver la primalité de nombres de 1000
chiffres est chose courante. Cette activité nécessite une étrange
alchimie de mathématiques pures (théorie des nombres, structures
algébriques finies), d'algorithmique liée au calcul formel, et de
programmation massive. Ses succès sont mesurés en partie par de
nombreux ``records'' non triviaux.
Grâce à ses travaux sur l'algorithme ECPP, qui utilise la théorie des courbes elliptiques sur les corps finis, travaux désormais classiques, F. Morain détient toujours le record du monde de primalité sur des nombres quelconques avec un nombre de 1505 chiffres décimaux. Pour des applications à la cryptographie, le programme a été optimisé en vue de pouvoir tester des nombres premiers de 100 chiffres le plus rapidement possible. À ce jour, il ne faut que 30 secondes de temps CPU sur une station DEC Alpha 3000 afin d'obtenir une preuve de primalité pour un entier de cette taille.
Pour arriver à ces résultats, F. Morain a développé un ensemble de logiciels très complets dont la construction utilise les ressources de langages divers tels que Le-Lisp, C et MAPLE. Le système CESAR (Courbes ElliptiqueS et ARithmétique), héritier de ces programmes, s'est enrichi : parmi les nouveautés, citons l'algorithmique rapide sur les polynômes (FFT) ainsi que sur la factorisation de polynômes dans les corps finis. Un nouvel ensemble de librairies portant sur les corps finis est actuellement en cours d'élaboration (librairie ZEN). Ces travaux complètent harmonieusement les recherches décrites dans la section relative au calcul formel.
F. Morain s'est également intéressé à l'étude des nombres pseudopremiers avec D. Guillaume, dans le but d'obtenir des tests de primalité maximisant le compromis temps/degré de certitude du résultat. Ces travaux ont fait l'objet de [50].
F. Morain a ensuite travaillé sur l'attaque des systèmes de
chiffrement RSA, en étudiant les algorithmes de factorisation
d'entiers. Ses efforts récents portent sur les algorithmes de
recherche de relations de dépendance dans des matrices booléennes
creuses de taille 
et
plus. Pour pouvoir ``rentrer'' ces matrices en mémoire centrale
sur un ordinateur, il faut utiliser des algorithmes récents dus
notamment à Odlyzko, Pomerance, Lenstra, etc., (``élimination
Gaussienne intelligente''), algorithmes qui réduisent la taille
de la matrice par un pré-traitement utilisant peu de mémoire. F.
Morain a encadré cette année un scientifique du contingent (à
l'École Polytechnique) qui a travaillé sur l'implantation
d'autres méthodes d'algèbre linéaire (méthode de Lanczos par
blocs). Des implantations sur NCUBE et station de travail ont été
réalisés. Il est désormais possible de résoudre des matrices de
taille 
qui
correspondent aux plus grands exemples traités actuellement par
les programmes les plus performants.
F. Morain continue de travailler sur l'un des thèmes centraux
de la théorie algorithmique des nombres : la théorie des courbes
elliptiques sur les corps finis. Il s'est ainsi intéressé au
calcul du nombre de points sur une courbe elliptique dans un
corps fini. Ces travaux, toujours en cours à l'heure actuelle,
ont déjà fait l'objet de deux communications lors de congrès
[51,26]. L'accent a récemment été mis sur le
cas des corps de petite caractéristique en exploitant les idées
contenues dans la thèse de Couveignes [33,42]. F. Morain et R. Lercier détiennent
les records du monde (corps premier de caractéristique ayant 500
chiffres décimaux et corps 
) dans cette spécialité.
Participant : Henry Crapo