Participant : Rémi Abgrall
On s'est intéressé au problème de la discrétisation numérique des équations d'Hamilton--Jacobi du premier ordre sur des maillages non structurés. Ce type d'équation -- ou des équations assez proches -- se rencontrent dans de nombreux problèmes : construction de maillages, déformations et suivis de fronts, analyse d'images, prospection pétrolière et optique géométrique par exemple.
Il n'est pas possible de généraliser les schémas déjà connus
pour des maillages cartésiens. On a cependant repris la démarche
-- construction de solveurs de Riemann approchés -- afin de mieux
comprendre quelles sont les variables indispensables à la
description d'un schéma. Plusieurs de ces schémas, monotones,
intrinsèques (indépendants de la représentation de fonctions
linéaires par morceaux) ont été décrits et testés. On a pu
démontrer que les solutions numériques convergent bien vers la
solution de viscosité du problème de Cauchy 
, et que l'erreur entre la solution
numérique et la solution exacte, sous des hypothèses classiques
sur le maillage, est en 
. Une extension à l'ordre deux en temps et en espace a
été obtenue grâce à la technique ENO.
On envisage dans un premier temps d'utiliser ces nouveaux schémas pour calculer des temps d'arrivée multiple d'ondes sismique en collaboration avec J.D. Benamou du projet IDENT : la solution de viscosité de l'Equation Eikonale ne fournit que le premier temps. En échantillonant le domaine de calcul, J.D. Benamou montre que l'on doit parvenir à les calculer tous. Dans ce cas, cette méthode impose d'être capable de calculer sur des domaines de forme quelconque ; il est alors très naturel d'utiliser une discrétisation de type éléments finis.