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Préconditionnement par sous-espace

Participants : Jocelyne Erhel, Kevin Burrage, Frédéric Guyomarc'h

Les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires nécessitent l'introduction d'un préconditionnement pour accélérer la convergence. Nous avons poursuivi le travail sur l'algorithme GMRES utilisé dans la résolution d'un système non symétrique Ax=b. Nous avons amélioré le préconditionnement conçu récemment. Soit les valeurs propres de A. La convergence de GMRES est gouvernée par le facteur . L'idée de base est de réduire ce facteur en le remplaçant par . Pour cela, à chaque redémarrage de GMRES, notre préconditionnement calcule une approximation d'un sous-espace invariant correspondant aux k-1 plus petites valeurs propres dans lequel le système est résolu de manière directe ; la convergence est alors gouvernée par les valeurs propres restantes. L'amélioration réside dans une approximation plus précise et adaptative du sous-espace invariant [7].

Nous avons aussi étudié le cas où il faut résoudre plusieurs systèmes linéaires de même matrice, dans le cas d'un système symétrique. Pour résoudre le système Ax=b, l'algorithme de LANCZOS calcule une base V(b) d'un sous-espace qui dépend de b. Par projection, on résout ainsi . Pour résoudre un nouveau système Ax=c, il faut a priori reconstruire une nouvelle base V(c) dépendant de c. Toutefois, les informations contenues dans V(b) peuvent être utiles. Nous étudions les conditions sur b et c pour lesquelles une accélération basée sur V(b) peut s'avérer efficace.