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Extension de Signal à des modèles probabilistes

Participants : Albert Benveniste, Dominique Chauveau

Le langage SIGNalea, défini comme une extension de SIGNAL, permet la spécification et la manipulation de systèmes (partiellement) aléatoires, en particulier des automates stochastiques multi-horloges, des réseaux de Petri stochastiques, temporisés ou non, mais aussi des réseaux de neurones (ou réseaux d'automates aléatoires, ou encore champs de Gibbs sur des graphes, selon le vocabulaire utilisé).

L'extension consiste en l'ajout d'un seul schéma d'opérateur au langage noyau de SIGNAL :

Cet opérateur requiert que les signaux mentionnés aient tous la même horloge. Considéré isolément, il spécifie une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi

où Z est une constante appropriée effectuant la normalisation. Un programme SIGNAL établissant une contrainte dynamique entre les signaux spécifie un sous-ensemble de comportements légaux de ces signaux, et la distribution résultante est simplement la loi

conditionnellement à ce que la contrainte spécifiée par le programme SIGNAL soit satisfaite.

Par exemple, si l'on prend

où est une probabilité de transition (c'est-à-dire une famille de probabilités en x paramétrées par y), le programme

 
(| potential U(y,x) | y := x $1 init x0 |)

spécifie une chaîne de Markov de probabilité de transition et de condition initiale .

En nous appuyant sur le formalisme mathématique CSS (Calculus of Stochastic Systems), défini en coopération avec le professeur Bernard C. Levy, de l'université de Davis en Californie, nous avons abouti cette année à la définition d'une nouvelle version de SIGNalea [1, 14]. Cette nouvelle version, qui se présente comme une version restreinte de celle envisagée en initialement, permet la spécification et la manipulation formelle de programmes SIGNAL\ contenant des « bulles » SIGNalea mono-horloges et sans opérateur de retard, dont le profil entrée/sortie est compatible avec un programme SIGNAL standard. Cette version restreinte de SIGNalea qui est à la fois une extension de SIGNAL et une extension de CSS, permet de spécifier tout système dynamique aléatoire de type « automate stochastique », ou « Hidden Markov Model » (HMM ).

Un pré-processeur permet d'extraire du programme SIGNalea les bulles de type CSS sur lesquelles, à l'aide de transformations syntaxiques, nous résolvons le problème de la simulation incrémentale en décomposant les bulles obtenues en des bulles de complexité inférieure qui sont ensuite réinjectées dans le programme SIGNalea. Après résolution du problème de la simulation incrémentale sur chacune des bulles CSS du programme, les bulles CSS contenues dans le nouveau programme SIGNalea ont une complexité inférieure, qui se prête davantage aux calculs nécessaires à l'estimation ou à la simulation de la spécification. Dans le cas de la simulation, et pour des systèmes purement booléens, une bibliothèque de calcul symbolique/stochastique utilisant les techniques BDD (Binary Decision Diagram ) permet de représenter ceux-ci de façon plus compacte et d'effectuer efficacement le calcul des primitives intervenant dans la simulation bayesienne.

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