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Méthodes analytiques pour les marches aléatoires en dimension

Participants : Guy Fayolle, Roudolf Iasnogorodski, Vadim Malyshev Les marches aléatoires dans sont naturellement isomorphes à des familles de réseaux comportant N files d'attente. Dans le cas N=2, les méthodes de détermination de mesures invariantes (par réduction à des problèmes aux limites, avec des conditions éventuellement sous forme intégrale) développées dans l'équipe depuis une quinzaine d'années par Fayolle et Iasnogorodski ont été reprises avec fruit dans certains laboratoires étrangers - notamment J.W. Cohen (Utrecht), I. Mitrani (Newcastle)-, et font l'objet d'études immédiates ou à long terme (Bell Laboratories, IBM Yorktown Heights, Universités du Michigan, d'Ottawa, etc.). Il était inévitable que ces travaux rejoignissent ceux de V.A. Malyshev, menés indépendamment en 1970 et précurseurs dans le domaine. Depuis quatre ans, un livre [1] est en cours de rédaction, par les trois auteurs précités. On y propose notamment :

• Une unification des résultats déjà obtenus ;
• La liaison avec la géométrie algébrique.
• Une classification des cas solubles à l'aide de formules explicites ;
• Des conditions nécessaires et suffisantes pour que les solutions soient algébriques ;

L'ouvrage comportera finalement sept chapitres. Les actions suivantes ont été menées cette année.
- Les chapitres 2 et 3 ont été complètement refondus.
- Dans , pour des sauts d'amplitude 1, le genre g de la surface de Riemann sous-jacente peut prendre des valeurs entières quelconques. Lorsque g est fini, on avait déjà trouvé des conditions nécessaires et suffisantes pour que les fonctions génératrices des mesures invariantes soient algébriques, les solutions étant alors complètement caractérisées (la méthode s'appuie sur le célèbre théorème 90 de factorisation de Hilbert et sur de nouvelles uniformisations au moyen de fonctions elliptiques). Lorsque g a une valeur quelconque, on a mis en relation les conditions d'ergodicité avec l'indice d'un problème de factorisation, puis on a calculé des formes intégrales explicites, mettant en jeu la fonction de Weierstrass.
- Enfin, pour le genre 0 (problème posé sur la sphère de Riemann), on a établi un lien avec les fonctions automorphes.

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