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Méthodes particulaires stochastiques

Participants : Mireille Bossy, Denis Talay

Mots-clés : propagation du chaos, méthode particulaire stochastique, équation de Burgers, équation de Navier-Stokes, méthode vortex

L'étude engagée sur ce sujet depuis quelques années a été poursuivie aussi bien sur le plan de l'analyse théorique de la vitesse de convergence que sur le plan de l'implémentation numérique. L'objectif est aujourd'hui d'étendre notre analyse pour obtenir des résultats attendus sur les méthodes de vortex aléatoire pour l'équation de Navier-Stokes incompressible 2-D écrite en terme de vorticité.

Le cadre général de travail est la résolution d'équations aux dérivées partielles de type équation de McKean-Vlasov  :

 

La fonction à valeurs dans qui intervient dans la partie non linéaire de l'équation est appelée noyau d'interaction. D'après la théorie probabiliste de la propagation du chaos, la solution s'interprète comme la loi limite d'un système de particules interagissant entre elles. La dynamique des particules est décrite par le système différentiel stochastique

 

Le corollaire intéressant du phénomène de propagation du chaos est la convergence au sens des mesures, quand N tend vers l'infini, de la mesure empirique vers . En particulier, un lissage par convolution de la mesure empirique converge vers la fonction . À partir de cette interprétation probabiliste, M. Bossy et D. Talay ont développé un algorithme d'approximation de , fondé sur la simulation du système de particules  ; la mesure initiale est approchée par une combinaison linéaire de masses de Dirac, ce qui donne les positions initiales des particules, qu'on déplace en simulant une (et une seule) réalisation approchée du système ci-dessus.

La complexité de l'analyse de la vitesse de convergence est essentiellement liée à la régularité du noyau d'interaction . Le cas de noyaux lipschitziens ainsi que le cas particulier de la fonction de Heaviside menant à la résolution numérique de l'équation de Burgers visqueuse ont déjà été étudiés. L'équation de Navier-Stokes pour les variables vorticité et vitesse , fait apparaître comme noyau d'interaction le noyau de Biot et Savart , singulier en 0 et l'algorithme particulaire évoqué ci-dessus correspond à la méthode bien connue de vortex aléatoires.

Un résultat partiel de vitesse de convergence a été obtenu lorsque le noyau d'interaction est une masse de Dirac, régularisée pour les besoins de la simulation. Un tel noyau est très similaire au noyau de Biot et Savart une fois qu'il est lui aussi régularisé pour les besoins de la simulation. On montre que l'erreur d'approximation en norme est d'ordre où est le paramètre de régularisation du noyau d'interaction et est une constante bornée en fonction de la condition initiale, de la date d'observation de l'erreur et de la viscosité. La vitesse de convergence obtenue est bien optimale en N (c'est à dire en ), mais pas assez précise par rapport au paramètre de régularisation et doit être améliorée. Nous cherchons à ramener le facteur à , ce qui correspond à la vitesse de convergence obtenue dans le cas de noyaux d'interaction lipschitziens.

Par ailleurs, en collaboration avec S. Méléard (université Paris X), D. Talay a entamé l'étude de la propagation du chaos pour le système de particules associé à l'équation de Navier-Stokes 2-D incompressible, dans l'espoir d'étendre un résultat d'Osada en suivant une approche radicalement différente de celle d'Osada.

Enfin, en collaboration avec M. Picasso (École Polytechnique Fédérale de Lausanne, CH), M. Bossy et D. Talay ont entamé l'étude d'une méthode numérique probabiliste pour un système différentiel stochastique d'un type un peu différent de Mc Kean-Vlasov intervenant dans un modèle de polymères.

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