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Méthode de décomposition de domaine pour le contrôle optimal

Participants : Jean-David Benamou

Il s'agit ici du contrôle de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Pour les applications visées, par exemple le contrôle actif de phénomène de diffraction d'ondes, le contrôle agit sur les conditions aux limites de l'équation considérée et la fonctionn coût fait intervenir l'énergie de la solution de cette même équation. L'utilisation de la méthode de décomposition de domaine que nous proposons peut se justifier dans trois cas : implémentation parallèle, résolution de gros problèmes, décomposition de géométries complexes.

Suite aux travaux menés sur la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations elliptiques (non nécessairement coercives) voir [22], J.D. Benamou a étendu la méthode aux systèmes gouvernés par des équations d'évolution (paraboliques et hyperboliques).

La méthode repose sur une décomposition du domaine (en espace) et la résolution itérative de sous-problèmes de la forme du système couplé: état direct, état adjoint, conditions d'optimalité. Les conditions de transmission entre sous-domaines, baptisées pour l'occasion SRC (Skew-symmetric, Robin, Coupled), sont formellement les mêmes que dans le cas des équations stationnaires.

Le découplage dans les sous-problèmes du couplage entre état direct et état adjoint , introduit en particulier par les conditions de transmission, fait apparaître une décomposition sous-jacente de l'équation de Riccati donnant la loi de 'feed-back'. Une étude théorique et numérique est en cours.