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Méthodes de déconvolution d'impulsions

Participants : Jean-Jacques Fuchs, Nicolas Moal

Nous considérons tous les problèmes du type déconvolution d'impulsions qui consistent à rechercher l'entrée (un train d'impulsions) qui, appliquée à un système de réponse impulsionnelle connue, explique la sortie bruitée observée. Ce sont des exemples typiques de la classe des problèmes inverses mal-posés dont une solution satisfaisante ne peut être obtenue que par régularisation, c'est-à-dire par intégration d'information a priori. En l'occurence, il s'agit de retenir parmi les solutions (entrées) possibles celles qui correspondent à un train d'impulsions, celles qui ont un petit nombre de composantes non nulles.

Estimer des raies pures dans un signal bruité, localiser des sources à l'aide d'un réseau de capteurs [39], estimer des retards entre les différentes répliques (trajets) contenues dans un signal radar, constituent trois problèmes de ce type. Bien souvent, les solutions proposées dissocient le problème de détection du problème d'estimation. On commence par estimer le nombre de raies/sources/répliques ou on le suppose connu avant de passer à l'étape d'estimation. Il apparaît qu'en fusionnant ces deux étapes on peut sensiblement améliorer les performances.

Ce type d'approche globale est classique dans les problèmes de déconvolution d'impulsions rencontrés en géophysique dans la sismique de réflexion. Il est généralement traité par une approche bayésienne. L'information a priori est traduite dans la modélisation de l'entrée recherchée par un processus Bernoulli-Gaussien.

L'approche que nous proposons est très différente : la parcimonie de l'entrée recherchée est obtenue par le choix d'une norme favorisant les solutions ayant peu de composantes non-nulles. La norme en est un exemple pour lequel le problème reste convexe et l'algorithmique est bien maîtrisée. Notons qu'il s'agit d'un domaine à la mode en traitement du signal essentiellement considéré pour le moment d'un point de vue analyse numérique (comment trouver la solution la plus parcimonieuse d'un système d'équations linéaires sous-déterminé ?) et que notre effort porte sur l'évaluation des performances statistiques d'une telle approche.

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