Précédent : Analyse d'algorithmes Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Algorithmiques des séquences
Précédent : Analyse d'algorithmes
Remonter : Résultats nouveaux Suivant :
Algorithmiques
des séquences
Participants : Frédéric Chyzak, François Morain, Bruno
Salvy.
Frédéric Chyzak a soutenu sa thèse intitulée Fonctions holonomes en calcul formel [[1]] le 27 mai. Les thèmes abordés sont ceux de la manipulation des suites et des fonctions spéciales par le calcul formel, de la simplification, de la sommation et de l'intégration formelle d'une large classe d'expressions faisant intervenir des suites et fonctions spéciales. Une partie de ces résultats est par ailleurs parue dans [[3]]. Depuis octobre, F. Chyzak est en post-doc au Research Institute in Symbolic Computation, à Linz (Autriche).
Bruno Salvy et John Shackell (University of Canterbury, UK) ont ces dernières années mené un travail sur l'algorithmisation du calcul asymptotique. Cette année est ainsi paru [[14]] un algorithme permettant le calcul du comportement asymptotique de toutes les fonctions implicites (appartenant à un corps de Hardy) solutions d'équations exp-log.
Bruno Salvy collabore avec l'équipe GAGE (École polytechnique) pour comprendre comment des développements récents sur l'algorithmique des straight-line programs peuvent être interprétés de manière à produire des implantations efficaces pour des problèmes de nature géométrique dans des systèmes de calcul formel du type de Maple. Les premiers résultats sont prometteurs, puisqu'une implantation prototype en Maple permet de résoudre numériquement des systèmes polynomiaux de grande taille.
Cyril Chabaud a mis au point un algorithme pour la détermination du comportement asymptotique des suites algébriques positives, ce qui comprend en particulier les suites d'énumération des langages context-free. Cet algorithme repose sur un suivi exact des branches de fonctions algébriques en l'absence de forme explicite. Son implantation en Maple sera incorporée dans la prochaine version de COMBSTRUCT.
Une autre extension de COMBSTRUCT vers les automates et les expressions régulières a été réalisée par Pierre Nicodème. Les premières applications à la recherche de motifs dans l'ADN [[31]] montrent qu'une combinaison de modélisation combinatoire et d'asymptotique automatique (fournie par GFUN) permet le traitement de problèmes de très grande taille en des temps modestes.
Poursuivant et amplifiant les travaux de Schoof, Atkin et Elkies, François Morain a simplifié et optimisé les algorithmes de calcul d'isogénies entre courbes elliptiques, qui sont au coeur des avancées récentes. Les articles [[16],[30],[11]] font le point sur le savoir-faire accumulé dans ce domaine. Le programme résultant de ces efforts est actuellement en cours de valorisation.
François Morain a profité de son mémoire d'habilitation [[2]] pour faire le point sur l'état actuel de la théorie et la pratique des courbes elliptiques sur les corps finis. Un livre doit en résulter dans un avenir proche.
François Morain a complètement réécrit son programme de primalité utilisant les courbes elliptiques (des binaires du programme sont accessibles sur le WEB). Outre les améliorations techniques des parties critiques du programme (division accélérée par les petits entiers, factorisation de polynômes par optimisation de l'algorithme probabiliste de Berlekamp), il s'est penché de nouveau sur le problème lancinant du calcul de la cardinalité des courbes elliptiques à multiplication complexe. Après avoir résolu quelques cas particuliers à l'aide de différents coauteurs par le passé, il a trouvé un lien entre les courbes modulaires X0(N) de genre 0 et la multiplication complexe, ce qui permet de résoudre le problème dans un grand nombre de cas. Ces travaux en cours généralisent les fonctions de Weber et ont été exposés pour la première fois à Dagstuhl au mois d'octobre. Le gain obtenu est important dans son programme de primalité et les retombées intéressantes dans le cas où les courbes à multiplication complexe sont utilisées en cryptologie, car leur cardinal est alors facile à calculer.