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Calcul parallèle
en neutronique
Participants : Michel Kern, Agany Oloui.
Mots clés : Éléments finis, condensation de masse, calcul formel, base de Gröbner .
Nous avons cherché à étendre les éléments finis d'ordre élevé avec condensation de masse de Cohen, Joly, Tordjman en 2D, et Hannoyer en 3D aux ordres plus élevés en 3D. Après une étape purement combinatoire, on obtient un système d'équations polynomiales. W. Mulder (Shell Research) a obtenu des résultats partiels, en exhibant certaines solutions à l'aide de techniques numériques. Il est toutefois intéressant de savoir caractériser toutes les solutions (réelles) du problème. C'est ici que le calcul symbolique se montre précieux : il est bien connu que le nombre de solutions (complexes) d'un tel système se « lit » sur une base de Gröbner. Mais on peut aller plus loin. F. Rouillier (Projet Polka, INRIA Lorraine) a développé des techniques permettant de calculer de façon exacte le nombre de solutions réelles (et même de prendre en compte des contraintes de signe).
Nous collaborons actuellement avec F. Rouillier et J.-C. Faugère (Laboratoire d'Informatique de Paris 6) pour résoudre complètement ce problème à l'aide des logiciels FGb et Real Solving. D'après J.-C. Faugère, seules les dernières versions de ces logiciels peuvent venir à bout (en un temps raisonnable) de ces problèmes. Dans le cas qui nous intéresse, le système a 11 équations, de degré 7, et possède 208 solutions complexes.