Présentation et objectifs généraux

Mots clés : algorithme génétique, analyse 2-microlocale, analyse financière, analyse d'images, analyse multifractale, analyse temps-fréquence, analyse de texture, compression fractale, compression d'image, détection de changements, fonction höldérienne, fractales, grandes déviations, IFS polaire, loi stable, mouvement Brownien fractionnaire, ondelettes, optimisation, problème inverse, processus de Lévy, système de fonctions itérées, trafic sur les réseaux d'ordinateurs, traitement du signal, Wartermarking .

La géométrie fractale a connu un essor important ces dernières années tant au plan théorique (mise au point de l'analyse multifractale, approfondissement de la théorie des systèmes de fonctions itérées, étude des liens avec les ondelettes, ...) que pratique (on dénombre aujourd'hui environ mille ``systèmes fractals'' identifiés dans les domaines de la croissance non linéaire, de la percolation, des milieux poreux, de la géophysique, des sciences économiques, de la médecine, et du traitement du signal).

Le projet FRACTALES a pour objectif la mise au point d'outils théoriques appartenant au domaine de l'analyse fractale pour effectuer le traitement et la modélisation de signaux complexes.

Une des activités principales de FRACTALES est le développement d'une ``boîte à outils'', FRACLAB, de programmes de traitements fractals du signal comparable à ce qui existe dans le domaine de l'analyse de Fourier ou en ondelettes.

Au plan théorique, le projet FRACTALES se concentre sur les domaines suivants :

Analyse multifractale : définition de nouveaux spectres, estimation, étude des corrélations multifractales, caractérisations de capacités à travers leurs propriétés multifractales, spectres conditionnels [[23],[18]].
Analyse de la régularité ponctuelle de fonctions : théorie des IFS, fonctions faiblement auto-affines, étude de fonctions à régularité prescrite, optimisation de fonctions irrégulières par algorithmes génétiques, analyse 2-microlocale [[20],[22]].
Processus stables et fractionnaires : simulation et capacité à modéliser certains types de signaux, mouvement Brownien fractionnaire et ses généralisations [[17],[13]].
Analyse temps fréquence: définition de nouvelles transformations adaptées à l'analyse fractale des signaux.

Les résultats de ces études théoriques sont validés sur des applications en traitement du signal qui en sont des prolongements naturels. Ces dernières induisent à leur tour de nouveaux développements en fonction des problèmes rencontrés dans la pratique. Les applications peuvent être classées en deux catégories:

Traitement de signaux 1D : synthèse de la parole, modélisation du trafic sur les réseaux d'ordinateurs et modélisation de cours financiers [[2],[14],[5]].
Traitement de signaux 2D : analyse, segmentation, débruitage, compression et watermarking d'images [[4],[15]].

Enfin, plusieurs de ces travaux sont effectués en collaboration avec l'équipe ``Signaux Non Stationnaires et Fractals'' de l'Ircyn (Nantes).

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