Fondements scientifiques

Mots clés : Optimisation, algorithme numérique, convexité, relaxation lagrangienne, optimisation semi-définie positive .

Ce projet concerne la minimisation numérique d'une fonction f de nvariables sur un domaine D $\subset$ Rⁿ, soit

minf (x) , avec x = {x₁,..., x_n} $\displaystyle \in$ D(P)

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(par ``minimisation'', il convient d'entendre ``recherche d'un minimum local''). Divers cas de figure relèvent plus particulièrement de nos compétences. Leur énumération ci-dessous suit l'ordre décroissant de niveau théorique.

1.: Cas où les dérivées premières de f sont discontinues. Pour ces problèmes, des algorithmes existent (méthodes de faisceaux, méthode du centre analytique), et sont implémentés et appliqués à des problèmes d'origines de plus en plus diverses. Nos recherches portent sur les possibilités d'accélération de ces algorithmes, ce qui implique de généraliser convenablement la notion de second ordre en un point où les dérivées premières n'existent pas.
2.: Problèmes de valeurs propres, ou encore optimisation semi-définie positive (SDP). Ici, Rⁿ est en fait R^{m(m - 1)/2}, l'espace des matrices symétriques. Typiquement, f est alors la valeur propre maximale (ou, de façon analogue, f est linéaire mais D est l'ensemble des matrices semi-définies positives). Nos travaux ont ici un double aspect; commande robuste d'une part, et utilisation de l'optimisation non différentiable (point 1.), qui vient ainsi complémenter les méthodes de points intérieurs.
3.: Problèmes combinatoires, où D est un ensemble fini, typiquement un sous-ensemble de {0, 1}ⁿ. Nous n'avons pas de compétence particulière dans ce vaste domaine; mais il se trouve que l'analyse convexe y joue un rôle utile, encore méconnu de la communauté scientifique (relaxation lagrangienne, relaxation semi-définie positive). Nous nous plaçons ici à la charnière entre les trois domaines: continu-combinatoire-convexité.
4.: Problèmes plus ``classiques'', où D est soit l'espace Rⁿtout entier, soit défini par des contraintes c_i(x) $\leq$ 0, f et les c_i étant régulières; éventuellement, n est grand (10⁵ et plus). Ici, nous jouons le plus souvent un rôle de conseillers, en diverses étapes: modélisation, choix d'une méthodologie, orientation vers les logiciels adaptés (Modulopt, projet Estime ou Promath, ou encore bibliothèques externes).

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