<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 98.1p1 release (March 2nd, 1998)
originally by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->

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  "HTML Tidy for Mac OS X (vers 31 October 2006 - Apple Inc. build 13), see www.w3.org">

  <title>Projet : NUMOPT - Fondements scientifiques</title>
  <meta name="description" content="Fondements scientifiques">
  <meta name="keywords" content="numopt">
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<body bgcolor="white">
  <a href="http://www.inria.fr/Equipes/NUMOPT-fra.html">Projet :
  NUMOPT</a>

  <p><a name="tex2html72" href="prese.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html78" href=
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  <a name="tex2html80" href="numopt.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="contents" src=
  "../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html73" href=
  "prese.html">Présentation et objectifs généraux</a>
  <b>Remonter&nbsp;:</b> <a name="tex2html79" href=
  "numopt.html">Optimisation Numérique</a> <b>Suivant&nbsp;:</b>
  <a name="tex2html82" href="domai.html">Domaines
  d'applications</a><br></p>
  <hr>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>

  <h1><a name="SECTION00030000000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "NUMOPT_fondements_">&nbsp;</a><br>
  Fondements scientifiques</h1><a name=
  "NUMOPT_fondements_fondements">&nbsp;</a>

  <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Optimisation, algorithme
  numérique, convexité, relaxation lagrangienne, optimisation
  semi-définie positive .</i></p>

  <p>Ce projet concerne la minimisation numérique d'une fonction
  <i>f</i> de <i>n</i>variables sur un domaine 
  <!-- MATH: $D\subset R^n$ -->
  <i>D</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0"
  src="img2.gif" alt="$ \subset$"> <i>R</i><sup>n</sup>, soit</p>

  <div align="center">
    <!-- MATH: \begin{equation}
\min f(x)\,,\quad \mbox{avec }x=\{x_1,\ldots,x_n\}\in D \mbox{(P)}
\end{equation} -->

    <table width="100%" align="center">
      <tr valign="middle">
        <td align="center" nowrap>min<i>f</i>
        (<i>x</i>)&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;avec&nbsp;<i>x</i>
        = {<i>x</i><sub>1</sub>,..., <i>x</i><sub>n</sub>}
        <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src=
        "img3.gif" alt="$\displaystyle \in$"> <i>D</i>(P)</td>

        <td width="10" align="right">(1)</td>
      </tr>
    </table>
  </div>(par ``minimisation'', il convient d'entendre ``recherche
  d'un minimum <em>local</em>''). Divers cas de figure relèvent
  plus particulièrement de nos compétences. Leur énumération
  ci-dessous suit l'ordre décroissant de niveau théorique.

  <dl compact>
    <dt>1.</dt>

    <dd>Cas où les dérivées premières de <i>f</i> sont
    discontinues. Pour ces problèmes, des algorithmes existent
    (méthodes de <em>faisceaux</em>, méthode du centre analytique),
    et sont implémentés et appliqués à des problèmes d'origines de
    plus en plus diverses. Nos recherches portent sur les
    possibilités d'accélération de ces algorithmes, ce qui implique
    de généraliser convenablement la notion de <em>second
    ordre</em> en un point où les dérivées premières n'existent
    pas.</dd>

    <dt>2.</dt>

    <dd>Problèmes de valeurs propres, ou encore optimisation
    <em>semi-définie positive</em> (SDP). Ici, <i>R</i><sup>n</sup>
    est en fait <!-- MATH: $R^{m(m-1)/2}$ -->
    <i>R</i><sup>m(m - 1)/2</sup>, l'espace des matrices
    symétriques. Typiquement, <i>f</i> est alors la valeur propre
    maximale (ou, de façon analogue, <i>f</i> est linéaire mais
    <i>D</i> est l'ensemble des matrices semi-définies positives).
    Nos travaux ont ici un double aspect; <em>commande robuste</em>
    d'une part, et utilisation de l'optimisation non différentiable
    (point 1.), qui vient ainsi complémenter les méthodes de
    <em>points intérieurs</em>.</dd>

    <dt>3.</dt>

    <dd><em>Problèmes combinatoires</em>, où <i>D</i> est un
    ensemble fini, typiquement un sous-ensemble de {0,
    1}<sup>n</sup>. Nous n'avons pas de compétence particulière
    dans ce vaste domaine; mais il se trouve que <em>l'analyse
    convexe</em> y joue un rôle utile, encore méconnu de la
    communauté scientifique (<em>relaxation lagrangienne,
    relaxation semi-définie positive</em>). Nous nous plaçons ici à
    la charnière entre les trois domaines:
    continu-combinatoire-convexité.</dd>

    <dt>4.</dt>

    <dd>Problèmes plus ``classiques'', où <i>D</i> est soit
    l'espace <i>R</i><sup>n</sup>tout entier, soit défini par des
    <em>contraintes</em> <!-- MATH: $c_i(x)\leq0$ -->
    <i>c</i><sub>i</sub>(<i>x</i>) <img width="13" height="22"
    align="middle" border="0" src="img4.gif" alt="$ \leq$"> 0,
    <i>f</i> et les <i>c</i><sub>i</sub> étant régulières;
    éventuellement, <i>n</i> est grand (10<sup>5</sup> et plus).
    Ici, nous jouons le plus souvent un rôle de conseillers, en
    diverses étapes: modélisation, choix d'une méthodologie,
    orientation vers les logiciels adaptés (<em>Modulopt</em>,
    projet Estime ou Promath, ou encore bibliothèques
    externes).</dd>
  </dl>

  <p><br></p>
  <hr>
  <a name="tex2html72" href="prese.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
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  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
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  d'applications</a>

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