Projet :
NUMOPT

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Domaines
d'applications
Fondements scientifiques
Mots clés : Optimisation, algorithme
numérique, convexité, relaxation lagrangienne, optimisation
semi-définie positive .
Ce projet concerne la minimisation numérique d'une fonction
f de nvariables sur un domaine
D
Rn, soit
minf
(x) , avec x
= {x1,..., xn}
D(P) |
(1) |
(par ``minimisation'', il convient d'entendre ``recherche
d'un minimum local''). Divers cas de figure relèvent
plus particulièrement de nos compétences. Leur énumération
ci-dessous suit l'ordre décroissant de niveau théorique.
- 1.
- Cas où les dérivées premières de f sont
discontinues. Pour ces problèmes, des algorithmes existent
(méthodes de faisceaux, méthode du centre analytique),
et sont implémentés et appliqués à des problèmes d'origines de
plus en plus diverses. Nos recherches portent sur les
possibilités d'accélération de ces algorithmes, ce qui implique
de généraliser convenablement la notion de second
ordre en un point où les dérivées premières n'existent
pas.
- 2.
- Problèmes de valeurs propres, ou encore optimisation
semi-définie positive (SDP). Ici, Rn
est en fait
Rm(m - 1)/2, l'espace des matrices
symétriques. Typiquement, f est alors la valeur propre
maximale (ou, de façon analogue, f est linéaire mais
D est l'ensemble des matrices semi-définies positives).
Nos travaux ont ici un double aspect; commande robuste
d'une part, et utilisation de l'optimisation non différentiable
(point 1.), qui vient ainsi complémenter les méthodes de
points intérieurs.
- 3.
- Problèmes combinatoires, où D est un
ensemble fini, typiquement un sous-ensemble de {0,
1}n. Nous n'avons pas de compétence particulière
dans ce vaste domaine; mais il se trouve que l'analyse
convexe y joue un rôle utile, encore méconnu de la
communauté scientifique (relaxation lagrangienne,
relaxation semi-définie positive). Nous nous plaçons ici à
la charnière entre les trois domaines:
continu-combinatoire-convexité.
- 4.
- Problèmes plus ``classiques'', où D est soit
l'espace Rntout entier, soit défini par des
contraintes
ci(x)
0,
f et les ci étant régulières;
éventuellement, n est grand (105 et plus).
Ici, nous jouons le plus souvent un rôle de conseillers, en
diverses étapes: modélisation, choix d'une méthodologie,
orientation vers les logiciels adaptés (Modulopt,
projet Estime ou Promath, ou encore bibliothèques
externes).

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