Avant--Projet : CAFE - Algorithmes pour équations linéaires

<body bgcolor="#FFEEE0" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#FF0000" alink="#00FF00"> <h2><a name="SECTION00061000000000000000">Algorithmes pour équations linéaires</a></h2> <a name="CAFE_resultats_equadiffs"></a> <p><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> Raphaël Bomboy, Manuel Bronstein, Benoit Gonzalvo.<br> <br></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>équations différentielles, équations aux différences, coefficients Liouvilliens, déterminants, solution Liouvillienne, solution analytique, quadratures, groupes de Galois, réductibilité, solution périodique .</i></p> <p><b>Équations différentielles</b></p> <p>Pour les équations différentielles, notre activité principale cette année a été la résolution d'équations dont les coefficients contiennent un terme exponentiel ou trigonométrique, par exemple : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> (<i>x</i> - <i>e</i><sup>x</sup>)<img width="25" height= "45" align="middle" border="0" src="img13.png" alt= "$\displaystyle {\frac{dy^2}{dx^2}}$"> + (<i>e</i><sup>2x</sup> + <i>e</i><sup>x</sup> - <i>x</i><sup>2</sup> - 1)<img width="19" height="41" align= "middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle {\frac{dy}{dx}}$"> + <i>e</i><sup>x</sup>(<i>x</i><sup>2</sup> - <i>x</i> + 1 - <i>xe</i><sup>x</sup>)<i>y</i>(<i>x</i>) = 0 </div>qui a pour solution générale  <span class= "MATH"><i>C</i><sub>1</sub><i>e</i><sup>x<sup>2</sup>/2</sup> + <i>C</i><sub>2</sub><i>e</i><sup>e<sup>x</sup></sup></span>. En collaboration avec Anne Frédet (École Polytechnique), une alternative efficace à l'algorithme de Singer[<a href= "bibliographie_ct.html#Singer91" target="contents">Sin91</a>] pour le calcul des solutions dans le corps de coefficients a été découverte et implémentée [<a href= "bibliographie_ct.html#BronsteinFredet99" target= "contents">7</a>]. Cet algorithme a été ensuite utilisé lors du stage de Benoit Gonzalvo pour le calcul des solutions en quadratures de ce type d'équations. <p>Puisque nos algorithmes génèrent des systèmes algébriques linéaires symboliques de grande taille, nous avons aussi commencé l'étude, en collaboration avec Thom Mulders (ETH Zurich), de l'application du procédé du relèvement de Hensel pour l'algèbre linéaire. Une approche efficace combinant le relèvement de Hensel et les images modulaires afin de calculer le déterminant de grandes matrices a été découverte [<a href= "bibliographie_ct.html#AbbottBronsteinMulders99" target= "contents">5</a>] et l'adaptation de ces techniques à d'autres calculs, tels que celui du noyau, est en cours.</p> <p><br></p> <p><b>Équations aux différences finies</b></p> <p>L'essentiel de nos efforts en recherche en amont ont été centrés sur l'étude des équations aux différences finies, en particulier des problèmes suivants : leur théorie de Galois, les solutions périodiques et les équations à coefficients fonctionnels.</p> <p><em>Théorie de Galois :</em> Nous nous sommes attachés à établir les liens entre les propriétés de réductibilité d'un opérateur aux différences et la forme de ses solutions et de son groupe de Galois. Ce travail est essentiellement l'adaptation aux cas des différences finies de celui effectué dans le cas différentiel par Singer [<a href="bibliographie_ct.html#Singer95" target= "contents">Sin96</a>]. L'objectif visé est de donner des algorithmes rapides de détermination des solutions Liouvilliennes et du groupe de Galois d'une équation aux différences finies. Nous avons aussi donné des caractérisations de la réductibilité et de la complète réductibilité d'un opérateur aux différences finies en terme de la réductibilité et complète réductibilité de son espace de solutions et de la réductivité de son groupe de Galois. Une notion importante intervenant dans ces problèmes de réductibilité est celle d'Eigenring d'un opérateur. Nous avons déterminé la structure complète de l'Eigenring d'un opérateur complètement réductible. Ces résultats ont fait l'objet d'un rapport de recherche [<a href= "bibliographie_ct.html#Bomboy99" target="contents">9</a>] et seront prochainement soumis à publication.</p> <p><em>Solutions périodiques :</em> Nous avons découvert un algorithme de recherche des solutions périodiques d'un opérateur aux différences finies. Ces solutions ont une importance dans les applications pratiques de ce genre d'équations. Ce problème a été résolu sans faire appel à la théorie de Galois. Nous avons montré que l'espace des solutions périodiques admet une base formée de solutions appartenant à une autre classe de solutions remarquables, les solutions géométriques. Nous avons donné un algorithme efficace de recherche des solutions géométriques d'une équation aux différences finies. Pour déterminer les solutions périodiques, nous avons également raffiné cet algorithme au moyen d'un algorithme calculant a priori une borne sur les périodes minimales d'une solution périodique. Ces résultats ont fait l'objet d'une soumission au <em>Rhine Workshop on Computer Algebra</em><a name="tex2html10" href= "footnode_mn.html#foot452" target="footer"><sup><img align= "bottom" border="1" alt="[*]" src= "../icons/foot_motif.png"></sup></a>.</p> <p><em>Équations à coefficients fonctionnels :</em> Nous avons développé une théorie algébrique des tours d'extensions de corps aux différences afin de pouvoir traiter les équations aux différences dont les coefficients contiennent des fonctions transcendantes définies par des sommes et/ou produits, par exemple : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>y</i>(<i>n</i> + 2) - (<i>n</i>! + <i>n</i>)<i>y</i>(<i>n</i> + 1) + <i>n</i>(<i>n</i>! - 1)<i>y</i>(<i>n</i>) = 0 </div>qui admet (en particulier) <span class="MATH">(<i>n</i> - 1)!</span> comme solution. Nous avons étudié en détail les propriétés de ces extensions et y avons en partie généralisé les algorithmes d'Abramov pour les équations aux différences et aux <span class= "MATH"><i>q</i></span>-différences [<a href= "bibliographie_ct.html#Abramov89b" target= "contents">Abr89</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#Abramov95" target= "contents">Abr95</a>]. Ces résultats ont fait l'objet d'un rapport de recherche [<a href= "bibliographie_ct.html#Bronstein99" target="contents">10</a>] et ont été soumis au <em>Journal of Symbolic Computation</em>. <hr> </body>